Статистика — Полиномиальное Распределение

Полиномиальный эксперимент является статистическим экспериментом и состоит из n повторных испытаний. Каждое испытание имеет дискретное количество возможных результатов. В любом конкретном испытании вероятность того, что будет достигнут определенный результат, является постоянной.

формула

${P_r = \ frac {n!} {(N_1!) (N_2!) ... (n_x!)} {P_1} ^ {n_1} {P_2} ^ {n_2} ... {P_x} ^ {n_x }}$

Где —

• ${n}$ = количество событий

• ${n_1}$ = количество результатов, событие 1

• ${n_2}$ = количество результатов, событие 2

• ${n_x}$ = количество результатов, событие x

• ${P_1}$ = вероятность того, что событие 1 произойдет

• ${P_2}$ = вероятность того, что событие 2 произойдет

• ${P_x}$ = вероятность того, что событие x произойдет

${n}$ = количество событий

${n_1}$ = количество результатов, событие 1

${n_2}$ = количество результатов, событие 2

${n_x}$ = количество результатов, событие x

${P_1}$ = вероятность того, что событие 1 произойдет

${P_2}$ = вероятность того, что событие 2 произойдет

${P_x}$ = вероятность того, что событие x произойдет

пример

Постановка задачи:

Три карточных игрока играют серию матчей. Вероятность того, что игрок A выиграет в любой игре, составляет 20%, вероятность того, что игрок B выиграет, составляет 30%, а вероятность того, что игрок C выиграет, составляет 50%. Если они играют в 6 игр, какова вероятность того, что игрок A выиграет 1 игру, игрок B выиграет 2 игры, а игрок C выиграет 3?

Решение:

Дано:

• ${n}$ = 12 (всего 6 игр)

• ${n_1}$ = 1 (игрок А выигрывает)

• ${n_2}$ = 2 (игрок B выигрывает)

• ${n_3}$ = 3 (игрок C выигрывает)

• ${P_1}$ = 0,20 (вероятность того, что игрок А выиграет)

• ${P_1}$ = 0,30 (вероятность того, что игрок B выиграет)

• ${P_1}$ = 0,50 (вероятность того, что игрок C выиграет)

${n}$ = 12 (всего 6 игр)

${n_1}$ = 1 (игрок А выигрывает)

${n_2}$ = 2 (игрок B выигрывает)

${n_3}$ = 3 (игрок C выигрывает)

${P_1}$ = 0,20 (вероятность того, что игрок А выиграет)

${P_1}$ = 0,30 (вероятность того, что игрок B выиграет)

${P_1}$ = 0,50 (вероятность того, что игрок C выиграет)

Подставляя значения в формулу, получаем:

Pr= fracn!(N1!)(N2!)...(nx!)P1n1P2n2...Pxnx,[7pt] Pr(A=1,B=2,C=3)= frac6!1!2!3!(0,21)(0,32)(0,53),[7pt] =0.135${P_r = \ frac {n!} {(N_1!) (N_2!) ... (n_x!)} {P_1} ^ {n_1} {P_2} ^ {n_2} ... {P_x} ^ {n_x }, \\ [7pt] \ P_r (A = 1, B = 2, C = 3) = \ frac {6!} {1! 2! 3!} (0,2 ^ 1) (0,3 ^ 2) (0,5 ^ 3), \\ [7pt] \ = 0.135}$