Статистика — интервальная оценка

Оценка интервала — это использование выборочных данных для вычисления интервала возможных (или вероятных) значений неизвестного параметра совокупности, в отличие от точечной оценки, которая представляет собой одно число.

формула

${\ mu = \ bar x \ pm Z _ {\ frac {\ alpha} {2}} \ frac {\ sigma} {\ sqrt n}}$

Где —

• ${\ bar x}$ = среднее

• ${Z _ {\ frac {\ alpha} {2}}}$ = коэффициент доверия

• ${\ alpha}$ = уровень достоверности

• ${\ sigma}$ = стандартное отклонение

• ${n}$ = размер выборки

${\ bar x}$ = среднее

${Z _ {\ frac {\ alpha} {2}}}$ = коэффициент доверия

${\ alpha}$ = уровень достоверности

${\ sigma}$ = стандартное отклонение

${n}$ = размер выборки

пример

Постановка задачи:

Предположим, студент, измеряющий температуру кипения определенной жидкости, наблюдает показания (в градусах Цельсия) 102,5, 101,7, 103,1, 100,9, 100,5 и 102,2 на 6 различных образцах жидкости. Он рассчитывает среднее значение выборки 101,82. Если он знает, что стандартное отклонение для этой процедуры составляет 1,2 градуса, то какова оценка интервала для среднего значения населения при уровне достоверности 95%?

Решение:

Студент подсчитал среднее значение выборки для температур кипения 101,82 со стандартным отклонением ${\ sigma = 0,49}$. Критическое значение для доверительного интервала 95% составляет 1,96, где ${\ frac {1-0,95} {2} = 0,025}$. 95% доверительный интервал для неизвестного среднего.

По мере снижения уровня достоверности размер соответствующего интервала будет уменьшаться. Предположим, что студент был заинтересован в 90% доверительном интервале для температуры кипения. В этом случае ${\ sigma = 0.90}$ и ${\ frac {1-0.90} {2} = 0.05}$. Критическое значение для этого уровня равно 1,645, поэтому доверительный интервал 90%

Увеличение размера выборки приведет к уменьшению длины доверительного интервала без снижения уровня достоверности. Это потому, что стандартное отклонение уменьшается с увеличением n.

Граница ошибки

Допустимая погрешность оценки интервала ${m}$ определяется как значение, добавленное или вычтенное из выборочного среднего значения, которое определяет длину интервала:

${Z _ {\ frac {\ alpha} {2}} \ frac {\ sigma} {\ sqrt n}}$

Предположим, что в приведенном выше примере студент желает иметь погрешность, равную 0,5, с вероятностью 95%. Подстановка соответствующих значений в выражение для ${m}$ и решение для n дает вычисление.

Чтобы достичь 95% оценки интервала для средней точки кипения с общей длиной менее 1 градуса, студент должен будет выполнить 23 измерения.