Статистика — Линейная регрессия

После того, как степень взаимосвязи между переменными была установлена ​​с использованием анализа взаимосвязи, естественно, углубиться в природу взаимосвязи. Регрессионный анализ помогает определить причинно-следственную связь между переменными. Можно предсказать значение других переменных (называемых зависимой переменной), если значения независимых переменных можно предсказать с помощью графического метода или алгебраического метода.

Графический метод

Он включает в себя построение диаграммы рассеяния с независимой переменной на оси X и зависимой переменной на оси Y. После этого линия рисуется таким образом, что она проходит через большую часть распределения, а оставшиеся точки распределены почти равномерно по обе стороны от линии.

Линия регрессии известна как линия наилучшего соответствия, которая суммирует общее движение данных. Он показывает наилучшие средние значения одной переменной, соответствующие средним значениям другой. Линия регрессии основана на критериях того, что это прямая линия, которая минимизирует сумму квадратов отклонений между прогнозируемыми и наблюдаемыми значениями зависимой переменной.

Алгебраический метод

Алгебраический метод строит два уравнения регрессии X на Y и Y на X.

Уравнение регрессии Y на X

${Y = a + bX}$

Где —

• ${Y}$ = Зависимая переменная

• ${X}$ = Независимая переменная

• ${a}$ = Константа, показывающая Y-перехват

• ${b}$ = Константа, показывающая наклон линии

${Y}$ = Зависимая переменная

${X}$ = Независимая переменная

${a}$ = Константа, показывающая Y-перехват

${b}$ = Константа, показывающая наклон линии

Значения a и b получают с помощью следующих нормальных уравнений:

 sumY=Na+b sumX[7pt] sumXY=a sumX+b sumX2${\ sum Y = Na + b \ sum X \\ [7pt] \ sum XY = a \ sum X + b \ sum X ^ 2}$

Где —

• ${N}$ = Количество наблюдений

${N}$ = Количество наблюдений

Уравнение регрессии X на Y

${X = a + bY}$

Где —

• ${X}$ = Зависимая переменная

• ${Y}$ = Независимая переменная

• ${a}$ = Константа, показывающая Y-перехват

• ${b}$ = Константа, показывающая наклон линии

${X}$ = Зависимая переменная

${Y}$ = Независимая переменная

${a}$ = Константа, показывающая Y-перехват

${b}$ = Константа, показывающая наклон линии

Значения a и b получают с помощью следующих нормальных уравнений:

 sumX=Na+b sumY[7pt] sumXY=a sumY+b sumY2${\ sum X = Na + b \ sum Y \\ [7pt] \ sum XY = a \ sum Y + b \ sum Y ^ 2}$

Где —

• ${N}$ = Количество наблюдений

${N}$ = Количество наблюдений

пример

Постановка задачи:

Исследователь обнаружил, что существует взаимосвязь между весовыми тенденциями отца и сына. В настоящее время он заинтересован в разработке уравнения регрессии по двум переменным по приведенным данным:

Вес отца (в кг)	69	63	66	64	67	64	70	66	68	67	65	71
Вес сына (в кг)	70	65	68	65	69	66	68	65	71	67	64	72

развивать

1. Уравнение регрессии Y на X.

2. Уравнение регрессии по Y.

Уравнение регрессии Y на X.

Уравнение регрессии по Y.

Решение:

${X}$	${X ^ 2}$	${Y}$	${Y ^ 2}$	${XY}$
69	4761	70	4900	4830
63	3969	65	4225	4095
66	4356	68	4624	4488
64	4096	65	4225	4160
67	4489	69	4761	4623
64	4096	66	4356	4224
70	4900	68	4624	4760
66	4356	65	4225	4290
68	4624	71	5041	4828
67	4489	67	4489	4489
65	4225	64	4096	4160
71	5041	72	5184	5112
${\ sum X = 800}$	${\ sum X ^ 2 = 53,402}$	${\ sum Y = 810}$	${\ sum Y ^ 2 = 54 750}$	${\ sum XY = 54,059}$

Уравнение регрессии Y на X

Y = a + bX

Где a и b получены нормальными уравнениями

${\ Rightarrow}$ 810 = 12a + 800b … (i)

${\ Rightarrow}$ 54049 = 800a + 53402 b … (ii)

Умножив уравнение (i) на 800 и уравнение (ii) на 12, получим:

96000 a + 640000 b = 648000 … (iii)

96000 + 640824 b = 648588 … (iv)

Вычитая уравнение (iv) из (iii)

-824 b = -588

${\ Rightarrow}$ b = -.0713

Подставляя значение b в уравнение (я)

810 = 12a + 800 (-0,713)

810 = 12а + 570,4

12а = 239,6

${\ Rightarrow}$ a = 19,96

Следовательно, уравнение Y на X можно записать в виде

Уравнение регрессии Y на X

X = a + bY

Где a и b получены нормальными уравнениями

${\ Rightarrow}$ 800 = 12a + 810a + 810b … (V)

${\ Rightarrow}$ 54 049 = 810a + 54 750 … (vi)

Умножив eq (v) на 810 и eq (vi) на 12, получим

9720 a + 656100 b = 648000 … (vii)

9720 + 65700 b = 648588 … (viii)

Вычитание из формулы из уравнения

900b = -588

${\ Rightarrow}$ b = 0,653

Подставляя значение b в уравнение (v)

800 = 12а + 810 (0,653)

12а = 271,07

${\ Rightarrow}$ a = 22,58

Следовательно, уравнение регрессии X и Y