Цифровая обработка сигналов — DFT Введение

Как и преобразование Фурье с непрерывным сигналом времени, преобразование Фурье с дискретным временем может использоваться для представления дискретной последовательности в ее эквивалентном представлении в частотной области и системе дискретного времени LTI и для разработки различных вычислительных алгоритмов.

X (jω) в непрерывном FT является непрерывной функцией от x (n). Однако DFT имеет дело с представлением x (n) с выборками его спектра X (ω). Следовательно, этот математический инструмент имеет большое значение в вычислительном отношении в удобном представлении. Как периодические, так и непериодические последовательности могут быть обработаны с помощью этого инструмента. Периодические последовательности должны быть выбраны путем расширения периода до бесконечности.

Выборка частотной области

Из введения ясно, что нам нужно знать, как пройти выборку в частотной области, то есть выборку X (ω). Следовательно, связь между дискретизированным преобразованием Фурье и DFT устанавливается следующим образом.

Точно так же периодические последовательности могут соответствовать этому инструменту, расширяя период N до бесконечности.

Пусть непериодическая последовательность: $X (n) = \ lim_ {N \ to \ infty} x_N (n)$

Определяя его преобразование Фурье,

$X (\ omega) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) e ^ {- jwn} X (K \ delta \ omega)$ … eq (1)

Здесь X (ω) дискретизируется периодически, на каждом интервале радиан δω.

Поскольку X (ω) является периодическим в 2π радианах, нам требуются выборки только в фундаментальном диапазоне. Образцы отбираются через равноотстоящие интервалы в диапазоне частот 0≤ω≤2π. Интервал между эквивалентными интервалами составляет $\ delta \ omega = \ frac {2 \ pi} {N} k$ радиан.

Теперь оцениваем, $\ omega = \ frac {2 \ pi} {N} k$

$X (\ frac {2 \ pi} {N} k) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) e ^ {- j2 \ pi nk / N},$ … eq ( 2)

где k = 0,1, …… N-1

Подразделив вышеперечисленное и поменяв порядок суммирования

$X (\ frac {2 \ pi} {N} k) = \ displaystyle \ sum \ limit_ {n = 0} ^ {N-1} [\ displaystyle \ sum \ limit_ {l = - \ infty} ^ \ infty x (n-Nl)] e ^ {- j2 \ pi nk / N}$ … eq (3)

$\ sum_ {l = - \ infty} ^ \ infty x (n-Nl) = x_p (n) = \ quad периодическая \ quad-функция \ quad \ quad period \ quad N \ quad и \ quad его \ quad Фурье \ quad series \ quad = \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} C_ke ^ {j2 \ pi nk / N}$

где n = 0,1,… .., N-1; ‘p’ — периодическая сущность или функция

Коэффициенты Фурье:

$C_k = \ frac {1} {N} \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x_p (n) e ^ {- j2 \ pi nk / N}$ k = 0,1,…, N- 1 … экв (4)

Сравнивая уравнения 3 и 4, получим;

$NC_k = X (\ frac {2 \ pi} {N} k)$ k = 0,1,…, N-1 … eq (5)

$NC_k = X (\ frac {2 \ pi} {N} k) = X (e ^ {jw}) = \ displaystyle \ sum \ limit_ {n = - \ infty} ^ \ infty x_p (n) e ^ { -j2 \ pi nk / N}$ … eq (6)

Из разложения в ряд Фурье

$x_p (n) = \ frac {1} {N} \ displaystyle \ sum \ limit_ {k = 0} ^ {N-1} NC_ke ^ {j2 \ pi nk / N} = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} X (\ frac {2 \ pi} {N} k) e ^ {j2 \ pi nk / N}$ … eq (7)

Где n = 0,1,…, N-1

Здесь мы получили периодический сигнал от X (ω). $x (n)$ можно извлечь только из $x_p (n)$, если во временной области нет псевдонимов. $N \ geq L$

N = период $x_p (n)$ L = период $x (n)$

$x (n) = \ begin {case} x_p (n), & 0 \ leq n \ leq N-1 \\ 0, & Иначе \ end {case}$

Отображение достигается таким образом.

Свойства ДПФ

линейность

В нем говорится, что ДПФ комбинации сигналов равен сумме ДПФ отдельных сигналов. Возьмем два сигнала x ₁ (n) и x ₂ (n), чьи ДПФ s равны X ₁ (ω) и X ₂ (ω) соответственно. Так что если

$x_1 (n) \ rightarrow X_1 (\ omega)$ и $x_2 (n) \ rightarrow X_2 (\ omega)$

Тогда $ax_1 (n) + bx_2 (n) \ rightarrow aX_1 (\ omega) + bX_2 (\ omega)$

где а и б постоянные.

симметричность

Свойства симметрии DFT могут быть получены аналогично тому, как мы получили свойства симметрии DTFT. Мы знаем, что ДПФ последовательности x (n) обозначается через X (K). Теперь, если x (n) и X (K) являются комплексными последовательностями, то это можно представить как

$x (n) = x_R (n) + jx_1 (n), 0 \ leq n \ leq N-1$

И $X (K) = X_R (K) + jX_1 (K), 0 \ leq K \ leq N-1$

Свойство двойственности

Рассмотрим сигнал x (n), ДПФ которого определяется как X (K). Пусть последовательность с конечной продолжительностью будет X (N). Тогда согласно теореме двойственности

Если $x (n) \ longleftrightarrow X (K)$

Тогда $X (N) \ longleftrightarrow Nx [((- k)) _ N]$

Таким образом, используя эту теорему, если мы знаем DFT, мы можем легко найти последовательность с конечной продолжительностью.

Комплекс сопряженных свойств

Предположим, существует сигнал x (n), ДПФ которого также известен нам как X (K). Теперь, если комплексное сопряжение сигнала задано как x * (n), то мы можем легко найти ДПФ без особых вычислений, используя теорему, показанную ниже.

Если $x (n) \ longleftrightarrow X (K)$

Тогда $x * (n) \ longleftrightarrow X * ((K)) _ N = X * (NK)$

Круговой сдвиг частоты

Умножение последовательности x (n) на комплексную экспоненциальную последовательность $e ^ {j2 \ Pi kn / N}$ эквивалентно круговому сдвигу ДПФ на L единиц частоты. Это двойственное свойство кругового сдвига во времени.

Если $x (n) \ longleftrightarrow X (K)$

Тогда $x (n) e ^ {j2 \ Pi Kn / N} \ longleftrightarrow X ((KL)) _ N$

Умножение двух последовательностей

Если имеется два сигнала x ₁ (n) и x ₂ (n), и их соответствующие ДПФ представляют собой Х ₁ (k) и Х ₂ (К), то умножение сигналов во временной последовательности соответствует циклической свертке их ДПФ.

Если, $x_1 (n) \ longleftrightarrow X_1 (K) \ quad \ & \ quad x_2 (n) \ longleftrightarrow X_2 (K)$

Тогда $x_1 (n) \ times x_2 (n) \ longleftrightarrow X_1 (K) © X_2 (K)$

Теорема Парсеваля

Для комплексных последовательностей x (n) и y (n) в целом

Если $x (n) \ longleftrightarrow X (K) \ quad \ & \ quad y (n) \ longleftrightarrow Y (K)$

Тогда $\ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) y ^ * (n) = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} X ( K) Y ^ * (K)$