DSP — линейная фильтрация DFT

DFT обеспечивает альтернативный подход к свертке во временной области. Он может быть использован для выполнения линейной фильтрации в частотной области.

Таким образом, $Y (\ omega) = X (\ omega) .H (\ omega) \ longleftrightarrow y (n)$ .

Проблема в этом подходе частотной области состоит в том, что $Y (\ omega)$, $X (\ omega)$ и $H (\ omega)$ являются непрерывной функцией от ω, что бесполезно для цифровых вычислений на компьютерах. Тем не менее, DFT предоставляет выборочную версию этих сигналов для решения этой задачи.

Преимущество заключается в том, что, обладая знаниями о более быстрых методах DFT, таких как FFT, можно разработать вычислительно более эффективный алгоритм для вычислений в цифровых компьютерах по сравнению с подходом во временной области.

Рассмотрим последовательность конечной длительности, $[x (n) = 0, \ quad for, n <0 \ quad и \ quad n \ geq L]$ (обобщенное уравнение), возбуждает линейный фильтр с импульсным откликом $[h (n ) = 0, \ quad forn <0 \ quad и \ quad n \ geq M]$.

$$x (n) y (n)$$ $$output = y (n) = \ sum_ {k = 0} ^ {M-1} h (k) .x (nk)$$

Из анализа свертки ясно, что продолжительность y (n) составляет L + M − 1.

В частотной области,

$$Y (\ omega) = X (\ omega) .H (\ omega)$$

Теперь $Y (\ omega)$ — это непрерывная функция от ω, и она дискретизируется на множестве дискретных частот с числом различных выборок, которые должны быть равны или превышать $L + M-1$.

$$DFT \ quad size = N \ geq L + M-1$$

С $\ omega = \ frac {2 \ pi} {N} k$,

$Y (\ omega) = X (k) .H (k)$, где k = 0,1,…., N-1

Где X (k) и H (k) — это N-точечные ДПФ x (n) и h (n) соответственно. $x (n) \ & h (n)$ дополняются нулями вплоть до длины N. Это не будет искажать непрерывные спектры $X (\ omega)$ и $H (\ omega)$. Поскольку $N \ geq L + M-1$, N-точечное ДПФ выходной последовательности y (n) достаточно для представления y (n) в частотной области, и эти факты позволяют сделать вывод, что умножение N-точечных ДПФ на X (k) ) и H (k) с последующим вычислением N-точечного IDFT должны дать y (n).

Это подразумевает, что N-точечная круговая свертка x (n) и H (n) с заполнением нулями равна линейной свертке x (n) и h (n).

Таким образом, ДПФ можно использовать для линейной фильтрации.

Внимание — N всегда должно быть больше или равно $L + M-1$. В противном случае эффект сглаживания повредит выходную последовательность.