DSP — преобразование частоты времени DFT

Мы знаем, что когда $\ omega = 2 \ pi K / N$ и $N \ rightarrow \ infty, \ omega$ становится непрерывной переменной и ограничивает суммирование, равное $- \ infty$, до $+ \ infty$.

Следовательно,

$$NC_k = X (\ frac {2 \ pi} {N} k) = X (e ^ {j \ omega}) = \ displaystyle \ sum \ limit_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) e ^ {\ frac {-j2 \ pi nk} {N}} = \ displaystyle \ sum \ limit_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) e ^ {- j \ omega n}$$

Дискретное временное преобразование Фурье (DTFT)

Мы знаем, что $X (e ^ {j \ omega}) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) e ^ {- j \ omega n}$

Где $X (e ^ {j \ omega})$ непрерывен и периодичен по ω и имеет период 2π. … эк (1)

Сейчас,

$x_p (n) = \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} NC_ke ^ {j2 \ pi nk / N}$ … из ряда Фурье

$x_p (n) = \ frac {1} {2 \ pi} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} NC_ke ^ {j2 \ pi nk / N} \ times \ frac {2 \ pi} {N }$

ω становится непрерывным и $\ frac {2 \ pi} {N} \ rightarrow d \ omega$ по причинам, указанным выше.

$x (n) = \ frac {1} {2 \ pi} \ int_ {n = 0} ^ {2 \ pi} X (e ^ {j \ omega}) e ^ {j \ omega n} d \ omega$ … Eq (2)

Обратное преобразование Фурье с дискретным временем

Символично,

$x (n) \ Longleftrightarrow x (e ^ {j \ omega})$ (пара преобразований Фурье)

Необходимое и достаточное условие существования дискретного временного преобразования Фурье для непериодической последовательности x (n) является абсолютным суммируемым.

то есть $\ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty | x (n) | <\ infty$

Свойства DTFT

• Линейность : $a_1x_1 (n) + a_2x_2 (n) \ Leftrightarrow a_1X_1 (e ^ {j \ omega}) + a_2X_2 (e ^ {j \ omega})$

• Сдвиг времени — $x (nk) \ Leftrightarrow e ^ {- j \ omega k} .X (e ^ {j \ omega})$

• Обращение времени — $x (-n) \ Leftrightarrow X (e ^ {- j \ omega})$

• Сдвиг частоты — $e ^ {j \ omega _0n} x (n) \ Leftrightarrow X (e ^ {j (\ omega - \ omega _0)})$

• Область частот дифференцирования — $nx (n) = j \ frac {d} {d \ omega} X (e ^ {j \ omega})$

• Свертка — $x_1 (n) * x_2 (n) \ Leftrightarrow X_1 (e ^ {j \ omega}) \ times X_2 (e ^ {j \ omega})$

• Умножение — $x_1 (n) \ times x_2 (n) \ Leftrightarrow X_1 (e ^ {j \ omega}) * X_2 (e ^ {j \ omega})$

• Соотношение — $y_ {x_1 \ times x_2} (l) \ Leftrightarrow X_1 (e ^ {j \ omega}) \ times X_2 (e ^ {j \ omega})$

• Теорема модуляции — $x (n) \ cos \ omega _0n = \ frac {1} {2} [X_1 (e ^ {j (\ omega + \ omega _0}) * * X_2 (e ^ {jw})$

• Симметрия — $x ^ * (n) \ Leftrightarrow X ^ * (e ^ {- j \ omega})$;

  $x ^ * (- n) \ Leftrightarrow X ^ * (e ^ {j \ omega})$;

  $Real [x (n)] \ Leftrightarrow X_ {even} (e ^ {j \ omega})$;

  $Imag [x (n)] \ Leftrightarrow X_ {odd} (e ^ {j \ omega})$;

  $x_ {even} (n) \ Leftrightarrow Real [x (e ^ {j \ omega})]]$;

  $x_ {odd} (n) \ Leftrightarrow Imag [x (e ^ {j \ omega})]$;

• Теорема Парсеваля — $\ sum _ {- \ infty} ^ \ infty | x_1 (n) | ^ 2 = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} | X_1 (e ^ {J \ Omega}) | ^ 2d \ Omega$

Линейность : $a_1x_1 (n) + a_2x_2 (n) \ Leftrightarrow a_1X_1 (e ^ {j \ omega}) + a_2X_2 (e ^ {j \ omega})$

Сдвиг времени — $x (nk) \ Leftrightarrow e ^ {- j \ omega k} .X (e ^ {j \ omega})$

Обращение времени — $x (-n) \ Leftrightarrow X (e ^ {- j \ omega})$

Сдвиг частоты — $e ^ {j \ omega _0n} x (n) \ Leftrightarrow X (e ^ {j (\ omega - \ omega _0)})$

Область частот дифференцирования — $nx (n) = j \ frac {d} {d \ omega} X (e ^ {j \ omega})$

Свертка — $x_1 (n) * x_2 (n) \ Leftrightarrow X_1 (e ^ {j \ omega}) \ times X_2 (e ^ {j \ omega})$

Умножение — $x_1 (n) \ times x_2 (n) \ Leftrightarrow X_1 (e ^ {j \ omega}) * X_2 (e ^ {j \ omega})$

Соотношение — $y_ {x_1 \ times x_2} (l) \ Leftrightarrow X_1 (e ^ {j \ omega}) \ times X_2 (e ^ {j \ omega})$

Теорема модуляции — $x (n) \ cos \ omega _0n = \ frac {1} {2} [X_1 (e ^ {j (\ omega + \ omega _0}) * * X_2 (e ^ {jw})$

Симметрия — $x ^ * (n) \ Leftrightarrow X ^ * (e ^ {- j \ omega})$;

$x ^ * (- n) \ Leftrightarrow X ^ * (e ^ {j \ omega})$;

$Real [x (n)] \ Leftrightarrow X_ {even} (e ^ {j \ omega})$;

$Imag [x (n)] \ Leftrightarrow X_ {odd} (e ^ {j \ omega})$;

$x_ {even} (n) \ Leftrightarrow Real [x (e ^ {j \ omega})]]$;

$x_ {odd} (n) \ Leftrightarrow Imag [x (e ^ {j \ omega})]$;

Теорема Парсеваля — $\ sum _ {- \ infty} ^ \ infty | x_1 (n) | ^ 2 = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} | X_1 (e ^ {J \ Omega}) | ^ 2d \ Omega$

Ранее мы изучали выборку в частотной области. Обладая этими базовыми знаниями, мы производим выборку $X (e ^ {j \ omega})$ в частотной области, чтобы можно было сделать удобный цифровой анализ этих выборочных данных. Следовательно, ДПФ дискретизируется как во временной, так и в частотной области. С предположением $x (n) = x_p (n)$

Следовательно, ДПФ определяется как —

$X (k) = DFT [x (n)] = X (\ frac {2 \ pi} {N} k) = \ displaystyle \ sum \ limit_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) e ^ {- \ frac {j2 \ pi nk} {N}}$, k = 0,1,…, N − 1 … eq (3)

И IDFT дается —

$X (n) = IDFT [X (k)] = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} X (k) e ^ {\ frac {j2 \ pi nk} {N}}$, n = 0,1,…., N − 1 … eq (4)

$\ следовательно x (n) \ Leftrightarrow X (k)$

Фактор Twiddle

Он обозначается как $W_N$ и определяется как $W_N = e ^ {- j2 \ pi / N}$. Его величина всегда поддерживается на уровне единства. Фаза $W_N = -2 \ pi / N$. Это вектор на единичном круге и используется для удобства вычислений. Математически это может быть показано как —

$W_N ^ r = W_N ^ {r \ pm N} = W_N ^ {r \ pm 2N} = ...$

• Это функция r и периода N.

  Рассмотрим N = 8, r = 0,1,2,3,… .14,15,16,….

  $\ Longleftrightarrow W_8 ^ 0 = W_8 ^ 8 = W_8 ^ {16} = ... = ... = W_8 ^ {32} = ... = 1 = 1 \ angle 0$

• $W_8 ^ 1 = W_8 ^ 9 = W_8 ^ {17} = ... = ... = W_8 ^ {33} = ... = \ frac {1} {\ sqrt 2} = j \ frac {1} {\ sqrt 2} = 1 \ angle- \ frac {\ pi} {4}$

Это функция r и периода N.

Рассмотрим N = 8, r = 0,1,2,3,… .14,15,16,….

$\ Longleftrightarrow W_8 ^ 0 = W_8 ^ 8 = W_8 ^ {16} = ... = ... = W_8 ^ {32} = ... = 1 = 1 \ angle 0$

$W_8 ^ 1 = W_8 ^ 9 = W_8 ^ {17} = ... = ... = W_8 ^ {33} = ... = \ frac {1} {\ sqrt 2} = j \ frac {1} {\ sqrt 2} = 1 \ angle- \ frac {\ pi} {4}$

Линейное преобразование

Давайте поймем, линейное преобразование —

Мы знаем это,

$DFT (k) = DFT [x (n)] = X (\ frac {2 \ pi} {N} k) = \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) .W_n ^ { -nk}; \ quad k = 0,1,…., N − 1$

$x (n) = IDFT [X (k)] = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} X (k) .W_N ^ {- nk}; \ quad n = 0,1,…., N − 1$

Примечание. Вычисление DFT может быть выполнено с N ² комплексным умножением и N (N-1) комплексным сложением.

xN= beginbmatrixx(0)x(1)..x(N−1) endbmatrix quadN quadpoint quadvector quadof четырехканальныйсигнал quadxN$x_N = \ begin {bmatrix} x (0) \\ x (1) \\. \\. \\ x (N-1) \ end {bmatrix} \ quad N \ quad point \ quad vector \ quad of \ четырехканальный сигнал \ quad x_N$

xN= beginbmatrixx(0)x(1)..x(N−1) endbmatrix quadN quadpoint quadvector quadof четырехканальныйсигнал quadxN$x_N = \ begin {bmatrix} x (0) \\ x (1) \\. \\. \\ x (N-1) \ end {bmatrix} \ quad N \ quad point \ quad vector \ quad of \ четырехканальный сигнал \ quad x_N$

XN= beginbmatrixX(0)X(1)..X(N−1) endbmatrix quadN quadpoint quadvector quadof четырехканальныйсигнал quadXN$X_N = \ begin {bmatrix} X (0) \\ X (1) \\. \\. \\ X (N-1) \ end {bmatrix} \ quad N \ quad point \ quad vector \ quad of \ четырехканальный сигнал \ quad X_N$

XN= beginbmatrixX(0)X(1)..X(N−1) endbmatrix quadN quadpoint quadvector quadof четырехканальныйсигнал quadXN$X_N = \ begin {bmatrix} X (0) \\ X (1) \\. \\. \\ X (N-1) \ end {bmatrix} \ quad N \ quad point \ quad vector \ quad of \ четырехканальный сигнал \ quad X_N$

$ \ begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 & … & … & 1 \\ 1 & W_N & W_N ^ 2 & … & … & W_N ^ {N-1} \\. & W_N ^ 2 & W_N ^ 4 & … & … & W_N ^ {2 (N-1)} \\. \\ 1 & W_N ^ {N-1} & W_N ^ {2 (N-1) )} & … & … & W_N ^ {(N-1) (N-1)} \ end {bmatrix} $

N — точечный ДПФ в матричном члене задается как — $X_N = W_Nx_N$

$W_N \ longmapsto$ Матрица линейного преобразования

$Теперь \ quad x_N = W_N ^ {- 1} X_N$

IDFT в матричной форме задается

$$x_N = \ frac {1} {N} W_N ^ * X_N$$

Сравнивая оба выражения $x_N, \ quad W_N ^ {- 1} = \ frac {1} {N} W_N ^ *$ и $W_N \ times W_N ^ * = N [I] _ {N \ times N}$

Следовательно, $W_N$ является матрицей линейного преобразования, ортогональной (унитарной) матрицей.

Из периодического свойства $W_N$ и его симметричного свойства можно заключить, что $W_N ^ {k + N / 2} = -W_N ^ k$

Круговая симметрия

N-точечное ДПФ конечной длительности x (n) длины N≤L эквивалентно N-точечному ДПФ периодического расширения x (n), т.е. $x_p (n)$ периода N. и $x_p ( n) = \ sum_ {l = - \ infty} ^ \ infty x (n-Nl)$. Теперь, если мы сместим последовательность, которая является периодической последовательностью на k единиц вправо, получается другая периодическая последовательность. Это известно как круговое смещение, и это дается,

$$x_p ^ \ prime (n) = x_p (nk) = \ sum_ {l = - \ infty} ^ \ infty x (nk-Nl)$$

Новая конечная последовательность может быть представлена ​​как

$$x_p ^ \ prime (n) = \ begin {case} x_p ^ \ prime (n), & 0 \ leq n \ leq N-1 \\ 0 & В противном случае \ end {case}$$

Пример — Пусть x (n) = {1,2,4,3}, N = 4,

$x_p ^ \ prime (n) = x (nk, по модулю \ quad N) \ эквивалент x ((nk)) _ N \ quad; ex-if \ quad k = 2i.e \ quad 2 \ quad unit \ quad right \ сдвиг в квадрате \ quad и \ quad N = 4,$

Предполагаемое направление по часовой стрелке в качестве положительного направления.

Мы получили, $x \ prime (n) = x ((n-2)) _ 4$

$x \ prime (0) = x ((- 2)) _ 4 = x (2) = 4$

$x \ prime (1) = x ((- 1)) _ 4 = x (3) = 3$

$x \ prime (2) = x ((- 2)) _ 4 = x (0) = 1$

$x \ prime (3) = x ((1)) _ 4 = x (1) = 2$

Вывод — Круговой сдвиг N-точечной последовательности эквивалентен линейному сдвигу ее периодического расширения и наоборот.

Четко круговая последовательность — $x (Nn) = x (n), \ quad 1 \ leq n \ leq N-1$

$iex_p (n) = x_p (-n) = x_p (Nn)$

Четное сопряжение — $x_p (n) = x_p ^ * (Nn)$

Нечетно круговая последовательность — $x (Nn) = -x (n), \ quad 1 \ leq n \ leq N-1$

$iex_p (n) = -x_p (-n) = -x_p (Nn)$

Нечетное сопряжение — $x_p (n) = -x_p ^ * (Nn)$

Теперь $x_p (n) = x_ {pe} + x_ {po} (n)$, где,

$x_ {pe} (n) = \ frac {1} {2} [x_p (n) + x_p ^ * (Nn)]$

$x_ {po} (n) = \ frac {1} {2} [x_p (n) -x_p ^ * (Nn)]$

Для любого реального сигнала x (n), $X (k) = X ^ * (Nk)$

$X_R (k) = X_R (Nk)$

$X_l (k) = -X_l (Nk)$

$\ angle X (k) = - \ angle X (NK)$

Обращение времени — реверсивный сэмпл около 0- ^го сэмпла. Это дано как;

$x ((- n)) _ N = x (Nn), \ quad 0 \ leq n \ leq N-1$

Обратное время — это построение образцов последовательности в направлении по часовой стрелке, то есть в предполагаемом отрицательном направлении.

Некоторые другие важные свойства

Другие важные свойства IDFT $x (n) \ longleftrightarrow X (k)$

Обращение времени — $x ((- n)) _ N = x (Nn) \ longleftrightarrow X ((- k)) _ N = X (Nk)$

Круговой сдвиг времени — $x ((nl)) _ N \ longleftrightarrow X (k) e ^ {j2 \ pi lk / N}$

Сдвиг круговой частоты — $x (n) e ^ {j2 \ pi ln / N} \ longleftrightarrow X ((kl)) _ N$

Комплексные сопряженные свойства —

$x ^ * (n) \ longleftrightarrow X ^ * ((- k)) _ N = X ^ * (Nk) \ quad и$

$x ^ * ((- n)) _ N = x ^ * (Nn) \ longleftrightarrow X ^ * (- k)$

Умножение двух последовательностей —

$x_1 (n) \ longleftrightarrow X_1 (k) \ quad и \ quad x_2 (n) \ longleftrightarrow X_2 (k)$

$\ следовательно x_1 (n) x_2 (n) \ longleftrightarrow X_1 (k) \ quadⓃ X_2 (k)$

Круговая свертка — и умножение двух ДПФ

$x_1 (k) \ quad Ⓝ x_2 (k) = \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} x_1 (n) .x_2 ((mn)) _ n, \ quad m = 0,1,2 ,. ..., N-1$

$x_1 (k) \ quad Ⓝ x_2 (k) \ longleftrightarrow X_1 (k) .X_2 (k)$

Круговая корреляция — если $x (n) \ longleftrightarrow X (k)$ и $y (n) \ longleftrightarrow Y (k)$, то существует последовательность кросс-корреляции, обозначаемая как $\ bar Y_ {xy}$, такая, что $\ bar Y_ {xy} (l) = \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) y ^ * ((nl)) _ N = X (k) .Y ^ * (k)$

Теорема Парсеваля — Если $x (n) \ longleftrightarrow X (k)$ и $y (n) \ longleftrightarrow Y (k)$;

$\ displaystyle \ sum \ limit_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) y ^ * (n) = \ frac {1} {N} \ displaystyle \ sum \ limit_ {n = 0} ^ { N-1} Х (к) .Y ^ * (к)$