Если мы хотим проанализировать систему, которая уже представлена в частотной области, как дискретный сигнал времени, то мы переходим к обратному Z-преобразованию.
Математически это можно представить как;
$$ x (n) = Z ^ {- 1} X (Z) $$
где x (n) — сигнал во временной области, а X (Z) — сигнал в частотной области.
Если мы хотим представить вышеприведенное уравнение в интегральном формате, мы можем записать его в виде
$$ x (n) = (\ frac {1} {2 \ Pi j}) \ oint X (Z) Z ^ {- 1} dz $$
Здесь интеграл по замкнутому пути C. Этот путь находится внутри ROC x (z) и содержит начало координат.
Методы поиска обратного Z-преобразования
Когда анализ необходим в дискретном формате, мы преобразуем сигнал частотной области обратно в дискретный формат посредством обратного Z-преобразования. Мы следуем следующим четырем способам определения обратного Z-преобразования.
- Длинный метод деления
- Метод расширения частичной дроби
- Остаточный или контурный интегральный метод
Длинный метод деления
В этом методе Z-преобразование сигнала x (z) может быть представлено как отношение многочлена, как показано ниже;
$$ х (г) = Н (Z) / D (Z), $$
Теперь, если мы продолжим делить числитель на знаменатель, то получим ряд, как показано ниже
$$ X (z) = x (0) + x (1) Z ^ {- 1} + x (2) Z ^ {- 2} + … \ quad … \ quad … $$
Вышеприведенная последовательность представляет серию обратных Z-преобразований данного сигнала (для n≥0), и вышеуказанная система является причинно-следственной.
Однако при n <0 ряд можно записать в виде;
$$ x (z) = x (-1) Z ^ 1 + x (-2) Z ^ 2 + x (-3) Z ^ 3 + … \ quad … \ quad … $$
Метод частичного расширения фракции
Здесь также сигнал выражается первым в форме N (z) / D (z).
Если это рациональная дробь, она будет представлена следующим образом;
$ x (z) = b_0 + b_1Z ^ {- 1} + b_2Z ^ {- 2} + … \ quad … \ quad … + b_mZ ^ {- m}) / (a_0 + a_1Z ^ { -1} + a_2Z ^ {- 2} + … \ четырехъядерных … \ четырехъядерных … + a_nZ ^ {- N}) $
Вышеупомянутое неуместно, когда m <n и ≠ 0
Если соотношение не является правильным (то есть, неправильным), тогда мы должны преобразовать его в правильную форму, чтобы решить.
Остаточный или контурный интегральный метод
В этом методе мы получаем обратное Z-преобразование x (n) суммированием вычетов $ [x (z) Z ^ {n-1}] $ на всех полюсах. Математически это может быть выражено как
$$ x (n) = \ displaystyle \ sum \ limit_ {все \ четырехугольные полюса \ quad X (z)} вычеты \ quad of [x (z) Z ^ {n-1}]] $$
Здесь вычет для любого полюса порядка m при $ z = \ beta $ равен