Учебники

DSP – Z-Transform Свойства

В этой главе мы поймем основные свойства Z-преобразований.

линейность

В нем говорится, что когда два или более отдельных дискретных сигнала умножаются на константы, их соответствующие Z-преобразования также будут умножаться на одни и те же константы.

Математически,

a1x1(n)+a2x2(n)=a1X1(z)+a2X2(z)

Доказательство – Мы знаем это,

X(Z)= sum n= inftyinftyx(n)Zn

= sum n= inftyinfty(a1x1(n)+a2x2(n))Zn

=a1 sum n= inftyinftyx1(n)Zn+a2 sum n= inftyinftyx2(n)Zn

=a1X1(z)+a2X2(z) (доказано)

Здесь ROC – это ROC1 bigcapROC2.

Временной сдвиг

Свойство сдвига во времени показывает, как изменение во временной области в дискретном сигнале повлияет на Z-область, которая может быть записана как;

x(nn0) longleftrightarrowX(Z)Zn

Или x(n1) longleftrightarrowZ1X(Z)

Доказательство

Пусть y(P)=X(PK)

Y(z)= sum p= inftyinftyy(p)Zp

= sum p= inftyinfty(x(pk))Zp

Пусть s = pk

= sum s= inftyinftyx(s)Z(s+k)

= sum s= inftyinftyx(s)ZsZk

=Zk[ sum s= inftyinftyx(m)Zs]

=ZkX(Z) (доказано)

Здесь ROC может быть записано как Z = 0 (p> 0) или Z = ∞ (p <0)

пример

U (n) и U (n-1) могут быть построены следующим образом

Пример изменения времени

Z-преобразование U (n) может быть записано как;

 sum n= inftyinfty[U(n)]Zn=1

Z-преобразование U (n-1) может быть записано как;

 sum n= inftyinfty[U(n1)]Zn=Z1

Так что здесь x(nn0)=Zn0X(Z) (доказано)

Масштабирование времени

Свойство Time Scaling сообщает нам, какой будет Z-область сигнала, когда время масштабируется в его дискретной форме, которую можно записать как;

anx(n) longleftrightarrowX(a1Z)

Доказательство

Пусть y(p)=apx(p)

Y(P)= sum p= inftyinftyy(p)Zp

= sum p= inftyinftyapx(p)Zp

= sum p= inftyinftyx(p)[a1Z]p

=X(a1Z) (следовательно, доказано)

ROC: = Mod (ar1) <Mod (Z) <Mod (ar2), где Mod = Модуль

пример

Определим Z-преобразование x(n)=an cos omegan, используя свойство масштабирования по времени.

Решение

Мы уже знаем, что Z-преобразование сигнала  cos( omegan) определяется выражением –

 sum n= inftyinfty( cos omegan)Zn=(Z2Z cos omega)/(Z22Z cos omega+1)

Теперь, применяя свойство масштабирования по времени, Z-преобразование an cos omegan можно записать в виде;

 sum n= inftyinfty(an cos omegan)Zn=X(a1Z)

=[(a1Z)2(a1Z cos omegan)]/((a1Z)22(a1Z cos omegan)+1)

=Z(Za cos omega)/(Z22az cos omega+a2)

Последовательная дифференциация

Свойство последовательного дифференцирования показывает, что Z-преобразование будет иметь место, когда мы дифференцируем дискретный сигнал во временной области по времени. Это показано ниже.

 fracdx(n)dn=(1Z1)X(Z)

Доказательство

Рассмотрим LHS уравнения –  fracdx(n)dn

= frac[x(n)x(n1)][n(n1)]

=x(n)X(n1)

=x(Z)Z1x(Z)

=(1Z1)x(Z) (доказано)

ROC: R1 <Mod (Z) <R2

пример

Найдем Z-преобразование сигнала, заданного как x(n)=n2u(n)

По свойству мы можем написать

Zz[nU(n)]=Z fracdZ[U(n)]dz

=Z fracd[ fracZZ1]dZ

=Z/((Z1)2

=y(let)

Теперь Z [ny] можно узнать, снова применив свойство,

Z(n,y)=Z fracdydz

=Z fracd[Z/(Z1)3]dz

=Z(Z+1)/(Z1)2

свертка

Это показывает изменение в Z-области системы, когда происходит свертка в форме дискретного сигнала, которая может быть записана как –

x1(n)x2(n) longleftrightarrowX1(Z).X2(Z)

Доказательство

X(Z)= sum n= inftyinftyx(n)Zn

= sum n= inftyinfty[ sum k= inftyinftyx1(k)x2(nk)]Zn

= sum k= inftyinftyx1(k)[ sum ninftyx2(nk)Zn]

= sum k= inftyinftyx1(k)[ sum n= inftyinftyx2(nk)Z(nk)Zk]

Пусть nk = l, тогда приведенное выше уравнение можно записать в виде –

X(Z)= sum k= inftyinftyx1(k)[Zk sum l= inftyinftyx2(l)Zl]

= sum k= inftyinftyx1(k)X2(Z)Zk

=X2(Z) sum k= inftyinftyx1(Z)Zk

=X1(Z).X2(Z) (доказано)

ROC: ROC bigcapROC2

пример

Найдем свертку, заданную двумя сигналами

x1(n)= lbrace3,2,2 rbrace … (уравнение 1)

x2(n)= lbrace2,0 leq4 quadи quad0 quadelsewhere rbrace … (уравнение 2)

Z-преобразование первого уравнения можно записать в виде;

 sum n= inftyinftyx1(n)Zn

=32Z1+2Z2

Z-преобразование второго сигнала можно записать в виде;

 sum n= inftyinftyx2(n)Zn

=2+2Z1+2Z2+2Z3+2Z4

Итак, свертка двух вышеупомянутых сигналов определяется как –

X(Z)=[x1(Z)x2(Z)]

=[32Z1+2Z2] times[2+2Z1+2Z2+2Z3+2Z4]

=6+2Z1+6Z2+6Z3+... quad... quad...

Взяв обратное Z-преобразование, мы получим,

x(n)= lbrace6,2,6,6,6,0,4 rbrace

Теорема начального значения

Если x (n) является причинной последовательностью, которая имеет свое Z-преобразование как X (z), то теорема о начальном значении может быть записана как;

X(n)(at quadn=0)= limz to inftyX(z)

Доказательство – Мы знаем это,

X(Z)= sum n=0inftyx(n)Zn

Расширяя вышеприведенные серии, получаем;

=X(0)Z0+X(1)Z1+X(2)Z2+... quad...

=X(0) times1+X(1)Z1+X(2)Z2+... quad...

В приведенном выше случае, если Z → ∞, то Zn rightarrow0 (потому что n> 0)

Поэтому мы можем сказать;

 limz to inftyX(z)=X(0) (доказано)

Окончательная Теорема Значения

Теорема об окончательном значении утверждает, что если Z-преобразование сигнала представлено в виде X (Z) и все полюсы находятся внутри круга, то его окончательное значение обозначается как x (n) или X (∞) и может быть записано как –

X( infty)= limn to inftyX(n)= limz to1[X(Z)(1Z1)]]

Условия

  • Это применимо только для причинных систем.
  • В X(Z)(1Z1) должны быть полюсы внутри единичного круга в Z-плоскости.

Доказательство – мы знаем, что

Z+[x(n+1)x(n)]= limk to infty sumkn=0Zn[x(n+1)x(п)]

 RightarrowZ+[x(n+1)]Z+[x(n)]= limk to infty sumkn=0Zn[x(п+1)x(п)]

 RightarrowZ[X(Z)+x(0)]X(Z)+= limk to infty sumkn=0Zn[x(п+1)x(п)]

Здесь мы можем применить расширенное свойство одностороннего Z-преобразования. Таким образом, вышеприведенное уравнение может быть переписано как;

Z+[x(n+1)]=Z[X(2)+x(0)Z0]=Z[X(Z)+x(0)]

Теперь, положив z = 1 в приведенном выше уравнении, мы можем расширить приведенное выше уравнение –

 limk to infty[x(1)x(0)+x(6)x(1)+x(3)x(2)+... quad... четырехъядерных...+х(х+1)x(к)]

Это может быть сформулировано как;

X( infty)= limn to inftyX(n)= limz to1[X(Z)(1Z1)]] (доказано)

пример

Найдем начальное и конечное значение x (n), сигнал которого определяется

X(Z)=2+3Z1+4Z2

Решение – Давайте сначала найдем начальное значение сигнала, применив теорему

x(0)= limz to inftyX(Z)

= limz to infty[2+3Z1+4Z2]

=2+( frac3 infty)+( frac4 infty)=2

Теперь давайте найдем окончательное значение сигнала, применяя теорему

x( infty)= limz to infty[(1Z1)X(Z)]

= limz to infty[(1Z1)(2+3Z1+4Z2)]

= limz to infty[2+Z1+Z24Z3]

=2+1+14=0

Некоторые другие свойства Z-преобразования перечислены ниже

Дифференциация по частоте

Это дает изменение в Z-области сигнала, когда его дискретный сигнал дифференцируется по времени.

nx(n) longleftrightarrowZ fracdX(z)dz

Его РПЦ можно записать как;

r2<Mod(Z)<r1

пример

Найдем значение x (n) через дифференцирование по частоте, дискретный сигнал которого в Z-области задается как x(n) longleftrightarrowX(Z)=log(1+aZ1)

По свойству мы можем написать, что

nx(n) longleftrightarrowZ fracdx(Z)dz

=Z[ fracaZ21+aZ1]

=(aZ1)/(1+aZ1)

=11/(1+aZ1)

nx(n)= delta(n)(a)nu(n)

 Rightarrowx(n)=1/n[ delta(n)(a)nu(n)]

Умножение во времени

Это дает изменение в Z-области сигнала, когда умножение происходит на уровне дискретного сигнала.

x1(n).x2(n) longleftrightarrow( frac12 Pij)[X1(Z)X2(Z)]

Спряжение во времени

Это изображает представление сопряженного дискретного сигнала в Z-области.

X(n) longleftrightarrowX(Z)