DSP — DFT Решенные Примеры

Проверьте теорему Парсеваля о последовательности $x (n) = \ frac {1 ^ n} {4} u (n)$

Решение — $\ displaystyle \ sum \ limit _ {- \ infty} ^ \ infty | x_1 (n) | ^ 2 = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} | X_1 (е ^ {J \ Omega}) | ^ 2d \ Omega$

LHS $\ displaystyle \ sum \ limit _ {- \ infty} ^ \ infty | x_1 (n) | ^ 2$

$= \ displaystyle \ sum \ limit _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (n) x ^ * (n)$

$= \ displaystyle \ sum \ limit _ {- \ infty} ^ \ infty (\ frac {1} {4}) ^ {2n} u (n) = \ frac {1} {1- \ frac {1} {16 }} = \ frac {16} {15}$

RHS $X (e ^ {j \ omega}) = \ frac {1} {1- \ frac {1} {4} ej \ omega} = \ frac {1} {1-0.25 \ cos \ omega + j0. 25 \ sin \ omega}$

$\ Longleftrightarrow X ^ * (e ^ {j \ omega}) = \ frac {1} {1-0.25 \ cos \ omega-j0.25 \ sin \ omega}$

Расчет, $X (e ^ {j \ omega}). X ^ * (e ^ {j \ omega})$

$= \ frac {1} {(1-0.25 \ cos \ omega) ^ 2 + (0.25 \ sin \ omega) ^ 2} = \ frac {1} {1.0625-0.5 \ cos \ omega}$

$\ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \ frac {1} {1.0625-0.5 \ cos \ omega} d \ omega$

$\ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \ frac {1} {1.0625-0.5 \ cos \ omega} d \ omega = 16/15$

Мы можем видеть это, LHS = RHS. (Следовательно, доказано)

Пример 2

Вычислить N-точечную ДПФ из $x (n) = 3 \ delta (n)$

Решение — Мы знаем это,

$X (K) = \ displaystyle \ sum \ limit_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) e ^ {\ frac {j2 \ Pi kn} {N}}$

$= \ displaystyle \ sum \ limit_ {n = 0} ^ {N-1} 3 \ delta (n) e ^ {\ frac {j2 \ Pi kn} {N}}$

$= 3 \ delta (0) \ times e ^ 0 = 1$

Итак, $x (k) = 3,0 \ leq k \ leq N-1$ … Анс.

Пример 3

Вычислить N-точечную ДПФ из $x (n) = 7 (n-n_0)$

Решение — Мы знаем это,

$X (K) = \ displaystyle \ sum \ limit_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) e ^ {\ frac {j2 \ Pi kn} {N}}$

Подставляя значение x (n),

$\ displaystyle \ sum \ limit_ {n = 0} ^ {N-1} 7 \ ​​delta (n-n_0) e ^ {- \ frac {j2 \ Pi kn} {N}}$

$= e ^ {- kj14 \ Pi kn_0 / N}$ … Ans