DSP — Z-Transform Существование

Система, которая имеет системную функцию, может быть стабильной, только если все полюса лежат внутри единичного круга. Сначала мы проверяем, является ли система причинной или нет. Если система является причинно-следственной, то мы идем для определения ее стабильности BIBO; где стабильность BIBO относится к ограниченному входу для ограниченного выходного условия.

Это можно записать как;

$Mod (X (Z)) <\ infty$

$= Mod (\ sum x (n) Z ^ {- n}) <\ infty$

$= \ sum Mod (x (n) Z ^ {- n}) <\ infty$

$= \ sum Mod [x (n) (re ^ {jw}) ^ {- n}] <0$

$= \ sum Mod [x (n) r ^ {- n}] Mod [e ^ {- jwn}] <\ infty$

$= \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty Mod [x (n) r ^ {- n}] <\ infty$

Вышеупомянутое уравнение показывает условие существования Z-преобразования.

Однако условием существования сигнала DTFT является

$$\ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty Mod (x (n) <\ infty$$

Пример 1

Попробуем выяснить Z-преобразование сигнала, которое задается как

$x (n) = - (- 0.5) ^ {- n} u (-n) + 3 ^ nu (n)$

$= - (- 2) ^ nu (n) + 3 ^ nu (n)$

Решение — Здесь для $- (- 2) ^ nu (n)$ РПЦ является левой стороной и Z <2

Для $3 ^ nu (n)$ ROC является правосторонним и Z> 3

Следовательно, здесь Z-преобразование сигнала не будет существовать, потому что нет общей области.

Пример 2

Попробуем выяснить Z-преобразование сигнала, заданного

$x (n) = -2 ^ nu (-n-1) + (0,5) ^ nu (n)$

Решение — Здесь для $-2 ^ nu (-n-1)$ ROC сигнала левосторонний и Z <2

Для сигнала $(0.5) ^ nu (n)$ ROC является правосторонним и Z> 0.5

Таким образом, общая РПЦ формируется как 0,5 <Z <2

Следовательно, Z-преобразование можно записать как;

$X (Z) = \ lbrace \ frac {1} {1-2Z ^ {- 1}} \ rbrace + \ lbrace \ frac {1} {(1-0.5Z) ^ {- 1}} \ rbrace$

Пример 3

Попробуем выяснить Z-преобразование сигнала, которое задается как $x (n) = 2 ^ {r (n)}$

Решение — r (n) — сигнал линейного изменения. Таким образом, сигнал может быть записан как;

$x (n) = 2 ^ {nu (n)} \ lbrace 1, n &amp;lt;0 (u (n) = 0) \ quad и \ quad2 ^ n, n \ geq 0 (u (n) = 1) \ rbrace$

$= u (-n-1) + 2 ^ nu (n)$

Здесь для сигнала $u (-n-1)$ и ROC Z <1 и для $2 ^ nu (n)$ с ROC Z = 2.

Таким образом, Z-преобразование сигнала не будет существовать.

Z-преобразование для каузальной системы

Причинная система может быть определена как $h (n) = 0, n &amp;lt;0$. Для причинной системы ROC будет вне круга в Z-плоскости.

$H (Z) = \ displaystyle \ sum \ limit_ {n = 0} ^ {\ infty} h (n) Z ^ {- n}$

Расширяя вышеприведенное уравнение,

$H (Z) = h (0) + h (1) Z ^ {- 1} + h (2) Z ^ {- 2} + ... \ quad ... \ quad ...$

$= N (Z) / D (Z)$

Для причинных систем расширение Передаточной функции не включает положительные степени Z. Для причинной системы порядок числителя не может превышать порядок знаменателя. Это можно записать как

$\ lim_ {z \ rightarrow \ infty} H (Z) = h (0) = 0 \ quad или \ quad Finite$

Для устойчивости причинной системы полюсы Передаточной функции должны быть внутри единичного круга в Z-плоскости.

Z-преобразование для анти-причинной системы

Анти-причинная система может быть определена как $h (n) = 0, n \ geq 0$. Для анти-причинной системы полюсы передаточной функции должны лежать вне единичного круга в Z-плоскости. Для анти-каузальной системы ROC будет внутри круга в Z-плоскости.