Найти ответ системы s(n+2)−3s(n+1)+2s(n)= delta(n), когда все начальные условия равны нулю.
Решение — Взяв Z-преобразование с обеих сторон вышеприведенного уравнения, получим
S(z)Z2−3S(z)Z1+2S(z)=1
RightarrowS(z) lbraceZ2−3Z+2 rbrace=1
RightarrowS(z)= frac1 lbracez2−3z+2 rbrace= frac1(z−2)(z−1)= frac alpha1z−2+ frac alpha2z−1
RightarrowS(z)= frac1z−2− frac1z−1
Взяв обратное Z-преобразование приведенного выше уравнения, получим
S(n)=Z−1[ frac1Z−2]−Z−1[ frac1Z−1]
=2n−1−1n−1=−1+2n−1
Пример 2
Найдите системную функцию H (z) и отклик единичной выборки h (n) системы, разностное уравнение которой описано как
y(n)= frac12y(n−1)+2x(n)
где y (n) и x (n) — выход и вход системы соответственно.
Решение — Взяв Z-преобразование приведенного выше разностного уравнения, получим
y(z)= frac12Z−1Y(Z)+2X(z)
=Y(Z)[1− frac12Z−1]=2X(Z)
=H(Z)= fracY(Z)X(Z)= frac2[1− frac12Z−1]
Эта система имеет полюс в Z= frac12 и Z=0 и H(Z)= frac2[1− frac12Z−1]
Следовательно, принимая обратное Z-преобразование вышеупомянутого, мы получаем
h(n)=2( frac12)nU(n)
Пример 3
Определить Y (z), n≥0 в следующем случае —
y(n)+ frac12y(n−1)− frac14y(n−2)=0 quadданным quady(−1)=y(−2)=1
Решение — Применяя Z-преобразование к вышеприведенному уравнению, получаем
Y(Z)+ гидроразрыва12[Z−1Y(Z)+Y(−1)]− гидроразрыва14[Z−2У(Z)+Z−1Y(−1)+4(−2)]=0
RightarrowY(Z)+ frac12ZY(Z)+ frac12− frac14Z2Y(Z)− frac14Z− frac14=0
RightarrowY(Z)[1+ frac12Z− frac14Z2]= frac14Z− frac12
RightarrowY(Z)[ frac4Z2+2Z−14Z2]= frac1−2Z4Z
RightarrowY(Z)= fracZ(1−2Z)4Z2+2Z−1