Дискретное временное преобразование Фурье (DTFT) существует для сигналов энергии и мощности. Z-преобразование также существует ни для сигнала типа энергии, ни для мощности (NENP), до определенной степени. Замена z=ejw используется для преобразования Z-преобразования в DTFT только для абсолютно суммируемого сигнала.
Таким образом, Z-преобразование дискретного сигнала времени x (n) в степенном ряду можно записать как —
X(z)= sum n− inftyinftyx(n)Z−n
Вышеупомянутое уравнение представляет собой двустороннее уравнение Z-преобразования.
Как правило, когда сигнал Z-преобразован, он может быть представлен как —
X(Z)=Z[x(n)]
Или x(n) longleftrightarrowX(Z)
Если это непрерывный сигнал времени, то Z-преобразования не нужны, потому что используются преобразования Лапласа. Однако сигналы с дискретным временем можно анализировать только с помощью Z-преобразований.
Регион конвергенции
Область сходимости — это диапазон комплексной переменной Z в плоскости Z. Z-преобразование сигнала является конечным или сходящимся. Итак, ROC представляет собой тот набор значений Z, для которого X (Z) имеет конечное значение.
Свойства РПЦ
- РПЦ не включает в себя ни одного полюса.
- Для правостороннего сигнала ROC будет вне круга в Z-плоскости.
- Для левостороннего сигнала ROC будет внутри круга в Z-плоскости.
- Для устойчивости ROC включает единичный круг в Z-плоскости.
- Для двустороннего сигнала ROC является кольцом в Z-плоскости.
- Для сигнала конечной длительности ROC — это вся Z-плоскость.
Z-преобразование уникально характеризуется —
- Выражение X (Z)
- РПЦ X (Z)
Сигналы и их РПЦ
| х (п) | Х (Z) | РПЦ |
|---|---|---|
| Delta(п) | 1 | Вся плоскость Z |
| U(N) | 1/(1−Z−1) | Mod (Z)> 1 |
| Апи(п) | 1/(1−Az−1) | Mod (Z)> Mod (а) |
| −Aню(−п−1) | 1/(1−Az−1) | Mod (Z) <Mod (а) |
| Наню(п) | Az−1/(1−Az−1)2 | Mod (Z)> Mod (а) |
| −Aню(−п−1) | Az−1/(1−Az−1)2 | Mod (Z) <Mod (а) |
| U(n) cos omegan | (Z2−Z cos omega)/(Z2−2Z cos omega+1) | Mod (Z)> 1 |
| U(n) sin omegan | (Z sin omega)/(Z2−2Z cos omega+1) | Mod (Z)> 1 |
пример
Найдем Z-преобразование и ROC сигнала, заданного как x(n)= lbrace7,3,4,9,5 rbrace, где начало ряда равно 3.
Решение — Применяя формулу, которую мы имеем —
X(z)= sum n=− inftyinftyx(n)Z−n
= sum3n=−1x(n)Z−n
=x(−1)Z+x(0)+x(1)Z−1+x(2)Z−2+x(3)Z−3
=7Z+3+4Z−1+9Z−2+5Z−3
ROC — вся Z-плоскость, исключая Z = 0, ∞, -∞