DSP — круговая свертка DFT

Давайте возьмем две последовательности конечной длительности x ₁ (n) и x ₂ (n), имеющие целую длину как N. Их ДПФ — X ₁ (K) и X ₂ (K) соответственно, что показано ниже:

$$X_1 (K) = \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x_1 (n) e ^ {\ frac {j2 \ Pi kn} {N}} \ quad k = 0,1,2 .. .N-1$$ $$X_2 (K) = \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x_2 (n) e ^ {\ frac {j2 \ Pi kn} {N}} \ quad k = 0 , 1,2 ... N-1$$

Теперь мы попытаемся найти ДПФ другой последовательности x ₃ (n), которая задается как X ₃ (K)

$X_3 (K) = X_1 (K) \ times X_2 (K)$

Взяв IDFT из вышеперечисленного, мы получаем

$x_3 (n) = \ frac {1} {N} \ displaystyle \ sum \ limit_ {n = 0} ^ {N-1} X_3 (K) e ^ {\ frac {j2 \ Pi kn} {N}}$

Решив приведенное выше уравнение, наконец, получим

$x_3 (n) = \ displaystyle \ sum \ limit_ {m = 0} ^ {N-1} x_1 (m) x_2 [((nm)) _ N] \ quad m = 0,1,2 ... N- 1$

Методы круговой свертки

Как правило, есть два метода, которые приняты для выполнения круговой свертки, и они —

• Метод концентрических окружностей,
• Матричный метод умножения.

Метод концентрических кругов

Пусть $x_1 (n)$ и $x_2 (n)$ — две заданные последовательности. Для круговой свертки $x_1 (n)$ и $x_2 (n)$ выполняются следующие шаги:

• Возьмите два концентрических круга. Нанесите N выборок $x_1 (n)$ на окружность внешнего круга (сохраняя равные расстояния последовательных точек) в направлении против часовой стрелки.

• Для построения графика $x_2 (n)$ на внутреннем круге нанесите N выборок $x_2 (n)$ по часовой стрелке, начиная с той же точки, что и 0- ^й образец $x_1 (n)$.

• Умножьте соответствующие образцы на два круга и добавьте их, чтобы получить результат.

• Вращайте внутренний круг против часовой стрелки с одним образцом за один раз.

Возьмите два концентрических круга. Нанесите N выборок $x_1 (n)$ на окружность внешнего круга (сохраняя равные расстояния последовательных точек) в направлении против часовой стрелки.

Для построения графика $x_2 (n)$ на внутреннем круге нанесите N выборок $x_2 (n)$ по часовой стрелке, начиная с той же точки, что и 0- ^й образец $x_1 (n)$.

Умножьте соответствующие образцы на два круга и добавьте их, чтобы получить результат.

Вращайте внутренний круг против часовой стрелки с одним образцом за один раз.

Метод умножения матриц

Матричный метод представляет две заданные последовательности $x_1 (n)$ и $x_2 (n)$ в матричной форме.

Одна из данных последовательностей повторяется посредством кругового сдвига одного образца за раз, чтобы сформировать матрицу NXN.

Другая последовательность представлена ​​в виде матрицы столбцов.

Умножение двух матриц дает результат круговой свертки.