Учебники

DSP – DFT дискретное косинусное преобразование

DCT (дискретное косинусное преобразование) представляет собой N-входную последовательность x (n), 0≤n≤N-1, как линейное преобразование или комбинацию комплексных экспонент. В результате коэффициенты ДПФ в целом являются сложными, даже если x (n) является действительным.

Предположим, мы пытаемся найти ортогональное преобразование, которое имеет структуру N × N, которая выражает вещественную последовательность x (n) как линейную комбинацию косинусной последовательности. Мы уже знаем это –

X(K)= displaystyle sum limitN1n=0x(n)cos frac2 PiknN0 leqk leqN1

И x(n)= frac1N sumN1k=0x(k)cos frac2 PiknN0 leqk leqN1

Это возможно, если N точечная последовательность x (n) вещественная и четная. Таким образом, x(n)=x(Nn),0 leqn leq(N1). Полученный ДПФ сам по себе реальный и ровный. Эти вещи проясняют, что мы могли бы возможно использовать дискретное косинусное преобразование для любой N-точечной действительной последовательности, взяв 2N-точечное ДПФ «четного расширения» последовательности.

DCT, в основном, используется в обработке изображений и речи. Он также используется при сжатии изображений и речевых сигналов.

DFT[s(n)]=S(k)= sum2N1n=0s(n)Wnk2N, quad,где quad0 leqk leq2N1

S(k)= displaystyle sum limitN1n=0x(n)Wnk2N+ displaystyle sum limit2N1n=Nx(2Nn1)Wnk2N; quad,где quad0 leqk leq2N1

 RightarrowS(k)=Wk/22N+ sumN1n=0x(n)[Wnk2NWk/22N+Wnk2NWk/22N]; quad,где quad0 leqk leq2N1

 RightarrowS(k)=W frack22N sumN1n=0x(n) cos[ frac piN(n+ frac12)k]; quad,где quad0 leqk leq2N1

DCT определяется как,

V(k)=2 sumN1n=0x(n) cos[ frac pi2(n+ frac12)k] quadгде quad0 leqk leqN1

 RightarrowV(k)=W frack22NS(k) quadили quadS(k)=W frack22NV(k), quad,где quad0 leqk leqN1

 RightarrowV(k)=2R[W frack22N sumN1n=0x(n)Wnk2N], quadгде quad0 leqk leqN1