Системы управления — участки Боде

Сюжет Боде или диаграмма Боде состоит из двух участков —

• Величина участка
• Фазовый сюжет

На обоих графиках ось X представляет угловую частоту (логарифмическая шкала). Принимая во внимание, что yaxis представляет величину (линейный масштаб) передаточной функции разомкнутого контура на графике амплитуды и фазовый угол (линейный масштаб) передаточной функции разомкнутого контура на фазовом графике.

Величина передаточной функции разомкнутого контура в дБ составляет —

M=20 log|G(j omega)H(j omega)| $$M = 20 \: \ log | G (j \ omega) H (j \ omega) |$$

Фазовый угол передаточной функции разомкнутого контура в градусах —

$$\ phi = \ angle G (j \ omega) H (j \ omega)$$

Примечание . Основание логарифма — 10.

Базовые участки Боде

В следующей таблице приведены значения наклона, величины и фазового угла членов, присутствующих в передаточной функции разомкнутого контура. Эти данные полезны при рисовании графиков Боде.

Тип термина	G (jω) Н (jω)	Наклон (дБ / декабрь)	Величина (дБ)	Фазовый угол (градусы)
постоянная	$K$	$0$	$20 \ log K$	$0$
Ноль в начале	$J \ Omega$	$20$	$20 \ log \ omega$	$90$
нули в начале координат	$(К \ омега) ^ п$	20n$20 \: n$	20n log omega$20 \: n \ log \ omega$	90n$90 \: n$
Полюс в начале координат	$\ Гидроразрыва {1} {J \ Omega}$	$-20$	$-20 \ log \ omega$	−90или270$-90 \: или \: 270$
полюса ‘n’ в начале координат	$\ Гидроразрыв {1} {(к \ омега) ^ п}$	−20n$-20 \: n$	−20n log omega$-20 \: n \ log \ omega$	−90nили270n$-90 \: n \: или \: 270 \: n$
Простой ноль	$1 + j \ omega r$	$20$	0for omega< frac1r$0 \: for \: \ omega &amp;lt;\ frac {1} {r}$ 20 log omegarfor omega> frac1r$20 \: \ log \ omega r \: for \: \ omega&amp;gt; \ frac {1} {r}$	0for omega< frac1r$0 \: for \: \ omega &amp;lt;\ frac {1} {r}$ 90for omega> frac1r$90 \: for \: \ omega&amp;gt; \ frac {1} {r}$
Простой полюс	$\ frac {1} {1 + j \ omega r}$	$-20$	0for omega< frac1r$0 \: for \: \ omega &amp;lt;\ frac {1} {r}$ −20 log omegarfor omega> frac1r$-20 \: \ log \ omega r \: for \: \ omega&amp;gt; \ frac {1} {r}$	0for omega< frac1r$0 \: for \: \ omega &amp;lt;\ frac {1} {r}$ −90или270для omega> frac1r$-90 \: или \: 270 \: для \: \ omega&amp;gt; \ frac {1} {r}$
Производный член второго порядка	$\ omega_n ^ 2 \ left (1- \ frac {\ omega ^ 2} {\ omega_n ^ 2} + \ frac {2j \ delta \ omega} {\ omega_n} \ right)$	$40$	40 log omeganfor omega< omegan$40 \: \ log \: \ omega_n \: for \: \ omega &amp;lt;\ omega_n$ 20 log :(2 delta omega2n)for omega= omegan$20 \: \ log \ 🙁 2 \ delta \ omega_n ^ 2) \: for \: \ omega = \ omega_n$ 40 log omegafor omega> omegan$40 \: \ log \: \ omega \: for \: \ omega&amp;gt; \ omega_n$	0для omega< omegan$0 \: для \: \ omega &amp;lt;\ omega_n$ 90для omega= omegan$90 \: для \: \ omega = \ omega_n$ 180для omega> omegan$180 \: для \: \ omega&amp;gt; \ omega_n$
Интегральный член второго порядка	$\ frac {1} {\ omega_n ^ 2 \ left (1- \ frac {\ omega ^ 2} {\ omega_n ^ 2} + \ frac {2j \ delta \ omega} {\ omega_n} \ right)}$	$-40$	−40 log omeganfor omega< omegan$-40 \: \ log \: \ omega_n \: for \: \ omega &amp;lt;\ omega_n$ −20 log :(2 delta omega2n)for omega= omegan$-20 \: \ log \ 🙁 2 \ delta \ omega_n ^ 2) \: for \: \ omega = \ omega_n$ −40 log omegafor omega> omegan$-40 \: \ log \: \ omega \: for \: \ omega&amp;gt; \ omega_n$	−0for omega< omegan$-0 \: for \: \ omega &amp;lt;\ omega_n$ −90для omega= omegan$-90 \: для \: \ omega = \ omega_n$ −180для omega> omegan$-180 \: для \: \ omega&amp;gt; \ omega_n$

постоянная

$K$

$0$

$20 \ log K$

$0$

Ноль в начале

$J \ Omega$

$20$

$20 \ log \ omega$

$90$

нули в начале координат

$(К \ омега) ^ п$

20n$20 \: n$

20n log omega$20 \: n \ log \ omega$

90n$90 \: n$

Полюс в начале координат

$\ Гидроразрыва {1} {J \ Omega}$

$-20$

$-20 \ log \ omega$

−90или270$-90 \: или \: 270$

полюса ‘n’ в начале координат

$\ Гидроразрыв {1} {(к \ омега) ^ п}$

−20n$-20 \: n$

−20n log omega$-20 \: n \ log \ omega$

−90nили270n$-90 \: n \: или \: 270 \: n$

Простой ноль

$1 + j \ omega r$

$20$

0for omega< frac1r$0 \: for \: \ omega &amp;lt;\ frac {1} {r}$

20 log omegarfor omega> frac1r$20 \: \ log \ omega r \: for \: \ omega&amp;gt; \ frac {1} {r}$

0for omega< frac1r$0 \: for \: \ omega &amp;lt;\ frac {1} {r}$

90for omega> frac1r$90 \: for \: \ omega&amp;gt; \ frac {1} {r}$

Простой полюс

$\ frac {1} {1 + j \ omega r}$

$-20$

0for omega< frac1r$0 \: for \: \ omega &amp;lt;\ frac {1} {r}$

−20 log omegarfor omega> frac1r$-20 \: \ log \ omega r \: for \: \ omega&amp;gt; \ frac {1} {r}$

0for omega< frac1r$0 \: for \: \ omega &amp;lt;\ frac {1} {r}$

−90или270для omega> frac1r$-90 \: или \: 270 \: для \: \ omega&amp;gt; \ frac {1} {r}$

Производный член второго порядка

$\ omega_n ^ 2 \ left (1- \ frac {\ omega ^ 2} {\ omega_n ^ 2} + \ frac {2j \ delta \ omega} {\ omega_n} \ right)$

$40$

40 log omeganfor omega< omegan$40 \: \ log \: \ omega_n \: for \: \ omega &amp;lt;\ omega_n$

20 log :(2 delta omega2n)for omega= omegan$20 \: \ log \ 🙁 2 \ delta \ omega_n ^ 2) \: for \: \ omega = \ omega_n$

40 log omegafor omega> omegan$40 \: \ log \: \ omega \: for \: \ omega&amp;gt; \ omega_n$

0для omega< omegan$0 \: для \: \ omega &amp;lt;\ omega_n$

90для omega= omegan$90 \: для \: \ omega = \ omega_n$

180для omega> omegan$180 \: для \: \ omega&amp;gt; \ omega_n$

Интегральный член второго порядка

$\ frac {1} {\ omega_n ^ 2 \ left (1- \ frac {\ omega ^ 2} {\ omega_n ^ 2} + \ frac {2j \ delta \ omega} {\ omega_n} \ right)}$

$-40$

−40 log omeganfor omega< omegan$-40 \: \ log \: \ omega_n \: for \: \ omega &amp;lt;\ omega_n$

−20 log :(2 delta omega2n)for omega= omegan$-20 \: \ log \ 🙁 2 \ delta \ omega_n ^ 2) \: for \: \ omega = \ omega_n$

−40 log omegafor omega> omegan$-40 \: \ log \: \ omega \: for \: \ omega&amp;gt; \ omega_n$

−0for omega< omegan$-0 \: for \: \ omega &amp;lt;\ omega_n$

−90для omega= omegan$-90 \: для \: \ omega = \ omega_n$

−180для omega> omegan$-180 \: для \: \ omega&amp;gt; \ omega_n$

Рассмотрим передаточную функцию с разомкнутым контуром $G (s) H (s) = K$.

Величина M=20 logK$M = 20 \: \ log K$ дБ

Фазовый угол $\ phi = 0$ градусов

Если $K = 1$, то величина равна 0 дБ.

Если $K&amp;gt; 1$, то величина будет положительной.

Если $K &amp;lt;1$, то величина будет отрицательной.

На следующем рисунке показан соответствующий участок Боде.

График величины представляет собой горизонтальную линию, которая не зависит от частоты. Сама линия 0 дБ представляет собой график величины, когда значение K равно единице. Для положительных значений K горизонтальная линия сместится на 20 logK$20 \: \ log K$ дБ выше линии 0 дБ. Для отрицательных значений K горизонтальная линия сместится на 20 logK$20 \: \ log K$ дБ ниже линии 0 дБ. Сама линия нулевых градусов является фазовым графиком для всех положительных значений K.

Рассмотрим передаточную функцию с разомкнутым контуром $G (s) H (s) = s$.

Величина $M = 20 \ log \ omega$ дБ

Фазовый угол $\ phi = 90 ^ 0$

При $\ omega = 0,1$ рад / с величина составляет -20 дБ.

При $\ omega = 1$ рад / с величина составляет 0 дБ.

При $\ omega = 10$ рад / с величина составляет 20 дБ.

На следующем рисунке показан соответствующий участок Боде.

График величины представляет собой линию, которая имеет наклон 20 дБ / дек. Эта линия начиналась со значения $\ omega = 0,1$ рад / с, имеющего величину -20 дБ, и продолжается на том же наклоне. Он касается линии 0 дБ при $\ omega = 1$ рад / с. В этом случае фазовый участок составляет 90 ⁰ линии.

Рассмотрим передаточную функцию с разомкнутым контуром $G (s) H (s) = 1 + s \ tau$.

Величина M=20log sqrt1+ omega2 tau2$M = 20 \: log \ sqrt {1 + \ omega ^ 2 \ tau ^ 2}$ дБ

Фазовый угол $\ phi = \ tan ^ {- 1} \ omega \ tau$ градусов

Для $ω &amp;lt;\ frac {1} {\ tau}$ величина равна 0 дБ, а фазовый угол равен 0 градусам.

Для $\ omega&amp;gt; \ frac {1} {\ tau}$ величина составляет 20 log omega tau$20 \: \ log \ omega \ tau$ dB, а фазовый угол равен 90 ⁰ .

На следующем рисунке показан соответствующий участок Боде.

График величины имеет величину от 0 дБ до $\ omega = \ frac {1} {\ tau}$ рад / с. Из $\ omega = \ frac {1} {\ tau}$ рад / с он имеет наклон 20 дБ / дек. В этом случае фазовый график имеет фазовый угол от 0 градусов до $\ omega = \ frac {1} {\ tau}$ рад / с, и отсюда он имеет фазовый угол 90 ⁰ . Этот сюжет Боде называется асимптотическим сюжетом Боде .

Поскольку величины и фазовые диаграммы представлены прямыми линиями, точные графики Боде напоминают асимптотические графики Боде. Единственное отличие состоит в том, что графики Точного Боде будут иметь простые кривые вместо прямых.

Точно так же вы можете нарисовать графики Боде для других членов передаточной функции разомкнутого контура, которые приведены в таблице.