Системы управления — строительство участков Боде

В этой главе давайте подробно разберемся, как построить (нарисовать) графики Боде.

Правила застройки участков Боде

Следуйте этим правилам при построении сюжета Боде.

• Представьте передаточную функцию разомкнутого контура в стандартной форме постоянной времени.

• Замените $s = j \ omega$ в приведенном выше уравнении.

• Найдите угловые частоты и расположите их в порядке возрастания.

• Рассмотрим начальную частоту графика Боде как 1/10 от минимальной угловой частоты или 0,1 рад / с, в зависимости от того, какое значение меньше, и нарисуйте график Боде до 10-кратной максимальной угловой частоты.

• Нарисуйте графики величины для каждого слагаемого и правильно объедините эти графики.

• Нарисуйте фазовые графики для каждого термина и правильно объедините эти графики.

Представьте передаточную функцию разомкнутого контура в стандартной форме постоянной времени.

Замените $s = j \ omega$ в приведенном выше уравнении.

Найдите угловые частоты и расположите их в порядке возрастания.

Рассмотрим начальную частоту графика Боде как 1/10 от минимальной угловой частоты или 0,1 рад / с, в зависимости от того, какое значение меньше, и нарисуйте график Боде до 10-кратной максимальной угловой частоты.

Нарисуйте графики величины для каждого слагаемого и правильно объедините эти графики.

Нарисуйте фазовые графики для каждого термина и правильно объедините эти графики.

Примечание . Угловая частота — это частота, с которой происходит изменение наклона графика величины.

пример

Рассмотрим передаточную функцию без обратной связи системы управления с обратной связью

$$G (s) H (s) = \ гидроразрыва {10s} {(s + 2) (с + 5)}$$

Давайте преобразуем эту передаточную функцию с открытым контуром в стандартную форму постоянной времени.

$$G (s) H (s) = \ frac {10s} {2 \ left (\ frac {s} {2} +1 \ right) 5 \ left (\ frac {s} {5} +1 \ right )}$$

$$\ Rightarrow G (s) H (s) = \ frac {s} {\ left (1+ \ frac {s} {2} \ right) \ left (1+ \ frac {s} {5} \ right )}$$

Таким образом, мы можем нарисовать график Боде в полулоголотом, используя правила, упомянутые ранее.

Анализ устойчивости с использованием диаграмм Боде

Из графиков Боде мы можем сказать, является ли система управления стабильной, незначительно стабильной или нестабильной, основываясь на значениях этих параметров.

• Усиление частоты и частоты фазового перехода
• Прибыль маржи и фазовая маржа

Фаза пересечения частоты

Частота, на которой фазовый график имеет фазу -180 ^0, называется частотой пересечения фаз . Он обозначается как $\ omega_ {pc}$. Единица частоты фазового перехода равна рад / с .

Усиление пересекает частоту

Частота, на которой график амплитуды имеет величину ноль дБ, называется частотой перехода усиления . Он обозначается как $\ omega_ {gc}$. Единица усиления частоты перехода составляет рад / с .

Стабильность системы управления на основе соотношения между частотой перехода фазы и частотой перехода усиления приведена ниже.

• Если частота перехода фазы $\ omega_ {pc}$ больше частоты перехода коэффициента усиления $\ omega_ {gc}$, то система управления устойчива .

• Если частота перехода фазы $\ omega_ {pc}$ равна частоте перехода усиления $\ omega_ {gc}$, то система управления является минимально устойчивой .

• Если частота пересечения фазы $\ omega_ {pc}$ меньше частоты пересечения усиления $\ omega_ {gc}$, то система управления неустойчива .

Если частота перехода фазы $\ omega_ {pc}$ больше частоты перехода коэффициента усиления $\ omega_ {gc}$, то система управления устойчива .

Если частота перехода фазы $\ omega_ {pc}$ равна частоте перехода усиления $\ omega_ {gc}$, то система управления является минимально устойчивой .

Если частота пересечения фазы $\ omega_ {pc}$ меньше частоты пересечения усиления $\ omega_ {gc}$, то система управления неустойчива .

Получить маржу

Запас усиления $GM$ равен отрицательной величине в дБ при частоте пересечения фаз.

$$GM = 20 \ log \ left (\ frac {1} {M_ {pc}} \ right) = 20logM_ {pc}$$

Где $M_ {pc}$ — это величина на частоте перехода фазы. Единица усиления (GM) составляет дБ .

Фазовая маржа

Формула для фазовой маржи $PM$ имеет вид

$$PM = 180 ^ 0 + \ Phi_ {дс}$$

Где $\ phi_ {gc}$ — фазовый угол на частоте перехода усиления. Единица фазового поля — градусы .

Стабильность системы управления, основанная на связи между запасом усиления и запасом по фазе, указана ниже.

Если и маржа усиления $GM$, и фазовая маржа $PM$ положительны, то система управления стабильна .

Если и маржа усиления $GM$, и фазовая маржа $PM$ равны нулю, то система управления незначительно стабильна .

Если запас усиления $GM$ и / или запас по фазе $PM$ являются / отрицательными, то система управления нестабильна .