Системы управления — анализ устойчивости

В этой главе мы обсудим анализ устойчивости в области ‘s’ с использованием критерия устойчивости Роут-Гурвица. В этом критерии нам требуется характеристическое уравнение, чтобы найти устойчивость замкнутых систем управления.

Критерий устойчивости Рауса-Гурвица

Критерий устойчивости Рауса-Гурвица имеет одно необходимое условие и одно достаточное условие устойчивости. Если какая-либо система управления не удовлетворяет необходимым условиям, то можно сказать, что система управления нестабильна. Но если система управления удовлетворяет необходимому условию, то она может быть или не быть устойчивой. Таким образом, достаточное условие полезно для того, чтобы знать, является ли система управления стабильной или нет.

Необходимое условие устойчивости Рауса-Гурвица

Необходимым условием является то, что коэффициенты характеристического полинома должны быть положительными. Это означает, что все корни характеристического уравнения должны иметь отрицательные вещественные части.

Рассмотрим характеристическое уравнение порядка ‘n’ —

$$a_0s ^ п + a_1s ^ {N-1} + a_2s ^ {N-2} + ... а_ {п-1} с ^ 1 + a_ns ^ 0 = 0$$

Обратите внимание, что в характеристическом уравнении n- ^го порядка не должно быть пропущено ни одного члена. Это означает, что характеристическое уравнение n- ^го порядка не должно иметь никакого коэффициента, который имеет нулевое значение.

Достаточное условие стабильности Рауса-Гурвица

Достаточным условием является то, что все элементы первого столбца массива Routh должны иметь одинаковый знак. Это означает, что все элементы первого столбца массива Routh должны быть положительными или отрицательными.

Метод Routh Array

Если все корни характеристического уравнения существуют в левой половине плоскости ‘s’, то система управления устойчива. Если хотя бы один корень характеристического уравнения существует в правой половине плоскости ‘s’, то система управления неустойчива. Итак, мы должны найти корни характеристического уравнения, чтобы узнать, является ли система управления стабильной или нестабильной. Но трудно найти корни характеристического уравнения при увеличении порядка.

Итак, чтобы преодолеть эту проблему, у нас есть метод массива Routh . В этом методе нет необходимости вычислять корни характеристического уравнения. Сначала сформулируйте таблицу Рауса и найдите количество изменений знака в первом столбце таблицы Рауса. Число изменений знака в первом столбце таблицы Рауса дает число корней характеристического уравнения, которые существуют в правой половине плоскости ‘s’, а система управления неустойчива.

Выполните эту процедуру для формирования таблицы Рауса.

• Заполните первые две строки массива Рауса коэффициентами характеристического полинома, как указано в таблице ниже. Начните с коэффициента $s ^ n$ и продолжайте до коэффициента $s ^ 0$.

• Заполните оставшиеся строки массива Routh элементами, указанными в таблице ниже. Продолжайте этот процесс, пока не получите первый элемент столбца строки $ s ^ 0 $, равный$ a_n $. Здесь $a_n$ — коэффициент $s ^ 0$ в характеристическом полиноме.

Заполните первые две строки массива Рауса коэффициентами характеристического полинома, как указано в таблице ниже. Начните с коэффициента $s ^ n$ и продолжайте до коэффициента $s ^ 0$.

Заполните оставшиеся строки массива Routh элементами, указанными в таблице ниже. Продолжайте этот процесс, пока не получите первый элемент столбца строки $ s ^ 0 $, равный$ a_n $. Здесь $a_n$ — коэффициент $s ^ 0$ в характеристическом полиноме.

Примечание. Если у каких-либо элементов строки таблицы Routh есть какой-то общий фактор, вы можете разделить элементы строки с этим коэффициентом, чтобы упростить их было легко.

В следующей таблице показан массив Routh полинома характеристики n- ^го порядка.

$$a_0s ^ п + a_1s ^ {N-1} + a_2s ^ {N-2} + ... а_ {п-1} с ^ 1 + a_ns ^ 0$$

$S ^ п$	$A_0$	$A_2$	$A_4$	$A_6$	…	…
$S ^ {N-1}$	$A_1$	$A_3$	$A_5$	$A_7$	…	…
$S ^ {N-2}$	$B_1 = \ гидроразрыва {A_1A_2-a_3a_0} {a_1}$	$B_2 = \ гидроразрыва {a_1a_4-a_5a_0} {a_1}$	$B_3 = \ гидроразрыва {a_1a_6-a_7a_0} {a_1}$	…	…	…
$S ^ {п-3}$	$C_1 = \ гидроразрыва {b_1a_3-b_2a_1} {b_1}$	$C_2 = \ гидроразрыва {b_1a_55-b_3a_1} {b_1}$	$\ Vdots$
$\ vdots$	$\ Vdots$	$\ Vdots$	$\ Vdots$
$S ^ 1$	$\ Vdots$	$\ Vdots$
$S ^ 0$	$A_n$

$S ^ п$

$A_0$

$A_2$

$A_4$

$A_6$

…

…

$S ^ {N-1}$

$A_1$

$A_3$

$A_5$

$A_7$

…

…

$S ^ {N-2}$

$B_1 = \ гидроразрыва {A_1A_2-a_3a_0} {a_1}$

$B_2 = \ гидроразрыва {a_1a_4-a_5a_0} {a_1}$

$B_3 = \ гидроразрыва {a_1a_6-a_7a_0} {a_1}$

…

…

…

$S ^ {п-3}$

$C_1 = \ гидроразрыва {b_1a_3-b_2a_1} {b_1}$

$C_2 = \ гидроразрыва {b_1a_55-b_3a_1} {b_1}$

$\ Vdots$

$\ vdots$

$\ Vdots$

$\ Vdots$

$\ Vdots$

$S ^ 1$

$\ Vdots$

$\ Vdots$

$S ^ 0$

$A_n$

пример

Найдем устойчивость системы управления, имеющей характеристическое уравнение,

$$s ^ 4 + 3s ^ 3 + 3s ^ 2 + 2s + 1 = 0$$

Шаг 1 — Проверьте необходимое условие устойчивости Рауса-Гурвица.

Все коэффициенты характеристического полинома $s ^ 4 + 3s ^ 3 + 3s ^ 2 + 2s + 1$ положительны. Итак, система управления удовлетворяет необходимому условию.

Шаг 2 — Формируем массив Рауса для заданного характеристического полинома.

$S ^ 4$	$1$	$3$	$1$
$S ^ 3$	$3$	$2$
$S ^ 2$	$\ frac {(3 \ times 3) - (2 \ times 1)} {3} = \ frac {7} {3}$	$\ frac {(3 \ times 1) - (0 \ times 1)} {3} = \ frac {3} {3} = 1$
$S ^ 1$	$\ frac {\ left (\ frac {7} {3} \ times 2 \ right) - (1 \ times 3)} {\ frac {7} {3}} = \ frac {5} {7}$
$S ^ 0$	$1$

$S ^ 4$

$1$

$3$

$1$

$S ^ 3$

$3$

$2$

$S ^ 2$

$\ frac {(3 \ times 3) - (2 \ times 1)} {3} = \ frac {7} {3}$

$\ frac {(3 \ times 1) - (0 \ times 1)} {3} = \ frac {3} {3} = 1$

$S ^ 1$

$\ frac {\ left (\ frac {7} {3} \ times 2 \ right) - (1 \ times 3)} {\ frac {7} {3}} = \ frac {5} {7}$

$S ^ 0$

$1$

Шаг 3 — Проверьте достаточное условие устойчивости Рауса-Гурвица.

Все элементы первого столбца массива Рауса положительны. В первом столбце массива Routh нет изменения знака. Итак, система управления стабильна.

Особые случаи Routh Array

При формировании таблицы Рауса мы можем столкнуться с двумя типами ситуаций. Трудно заполнить таблицу Рауса из этих двух ситуаций.

Два особых случая:

• Первый элемент любой строки массива Routh равен нулю.
• Все элементы любой строки массива Routh равны нулю.

Давайте теперь обсудим, как преодолеть трудности в этих двух случаях, один за другим.

Первый элемент любой строки массива Routh равен нулю

Если какая-либо строка массива Routh содержит только первый элемент в качестве нуля и хотя бы один из оставшихся элементов имеет ненулевое значение, то замените первый элемент небольшим положительным целым числом, $\ epsilon$. А затем продолжите процесс заполнения таблицы Рауса. Теперь найдите число изменений знака в первом столбце таблицы Routh, подставив $\ epsilon$ в ноль.

пример

Найдем устойчивость системы управления, имеющей характеристическое уравнение,

$$s ^ 4 + 2s ^ 3 + з ^ 2 + 2s + 1 = 0$$

Шаг 1 — Проверьте необходимое условие устойчивости Рауса-Гурвица.

Все коэффициенты характеристического полинома $s ^ 4 + 2s ^ 3 + s ^ 2 + 2s + 1$ положительны. Итак, система управления удовлетворена необходимым условием.

Шаг 2 — Формируем массив Рауса для заданного характеристического полинома.

$S ^ 4$	$1$	$1$	$1$
$S ^ 3$	2 1	2 1
$S ^ 2$	$\ frac {(1 \ times 1) - (1 \ times 1)} {1} = 0$	$\ frac {(1 \ times 1) - (0 \ times 1)} {1} = 1$
$S ^ 1$
$S ^ 0$

$S ^ 4$

$1$

$1$

$1$

$S ^ 3$

2 1

2 1

$S ^ 2$

$\ frac {(1 \ times 1) - (1 \ times 1)} {1} = 0$

$\ frac {(1 \ times 1) - (0 \ times 1)} {1} = 1$

$S ^ 1$

$S ^ 0$

Элементы строки $s ^ 3$ имеют 2 в качестве общего множителя. Итак, все эти элементы делятся на 2.

Особый случай (i) — только первый элемент строки $s ^ 2$ равен нулю. Итак, замените его на $\ epsilon$ и продолжите процесс заполнения таблицы Рауса.

$S ^ 4$	1	1	1
$S ^ 3$	1	1
$S ^ 2$	$\ Эпсилон$	1
$S ^ 1$	$\ frac {\ left (\ epsilon \ times 1 \ right) - \ left (1 \ times 1 \ right)} {\ epsilon} = \ frac {\ epsilon-1} {\ epsilon}$
$S ^ 0$	1

$S ^ 4$

1

1

1

$S ^ 3$

1

1

$S ^ 2$

$\ Эпсилон$

1

$S ^ 1$

$\ frac {\ left (\ epsilon \ times 1 \ right) - \ left (1 \ times 1 \ right)} {\ epsilon} = \ frac {\ epsilon-1} {\ epsilon}$

$S ^ 0$

1

Шаг 3 — Проверьте достаточное условие устойчивости Рауса-Гурвица.

Когда $\ epsilon$ стремится к нулю, таблица Routh становится такой.

$S ^ 4$	1	1	1
$S ^ 3$	1	1
$S ^ 2$	0	1
$S ^ 1$	-∞
$S ^ 0$	1

$S ^ 4$

1

1

1

$S ^ 3$

1

1

$S ^ 2$

0

1

$S ^ 1$

-∞

$S ^ 0$

1

В первом столбце Routh таблицы есть два изменения знака. Следовательно, система управления нестабильна.

Все элементы любой строки массива Routh равны нулю

В этом случае выполните следующие два шага —

• Напишите вспомогательное уравнение A (s) строки, которая находится чуть выше ряда нулей.

• Дифференцируйте вспомогательное уравнение A (s) по s. Заполните ряд нулей этими коэффициентами.

Напишите вспомогательное уравнение A (s) строки, которая находится чуть выше ряда нулей.

Дифференцируйте вспомогательное уравнение A (s) по s. Заполните ряд нулей этими коэффициентами.

пример

Найдем устойчивость системы управления, имеющей характеристическое уравнение,

$$s ^ 5 + 3s ^ 4 + S ^ 3 + 3s ^ 2 + S + 3 = 0$$

Шаг 1 — Проверьте необходимое условие устойчивости Рауса-Гурвица.

Все коэффициенты данного характеристического полинома положительны. Итак, система управления удовлетворена необходимым условием.

Шаг 2 — Формируем массив Рауса для заданного характеристического полинома.

$S ^ 5$	1	1	1
$S ^ 4$	3 1	3 1	3 1
$S ^ 3$	$\ frac {(1 \ times 1) - (1 \ times 1)} {1} = 0$	$\ frac {(1 \ times 1) - (1 \ times 1)} {1} = 0$
$S ^ 2$
$S ^ 1$
$S ^ 0$

$S ^ 5$

1

1

1

$S ^ 4$

3 1

3 1

3 1

$S ^ 3$

$\ frac {(1 \ times 1) - (1 \ times 1)} {1} = 0$

$\ frac {(1 \ times 1) - (1 \ times 1)} {1} = 0$

$S ^ 2$

$S ^ 1$

$S ^ 0$

Элементы строки $s ^ 4$ имеют общий множитель 3. Итак, все эти элементы делятся на 3.

Особый случай (ii). Все элементы строки $s ^ 3$ равны нулю. Итак, запишите вспомогательное уравнение A (s) строки $s ^ 4$.

$$A (S) = S ^ 4 + з ^ 2 + 1$$

Дифференцируйте вышеприведенное уравнение по s.

$$\ гидроразрыва {\ текст {d} А (з)} {\ текст {d}} s = 4с ^ 3 + 2s$$

Поместите эти коэффициенты в строку $s ^ 3$.

$S ^ 5$	1	1	1
$S ^ 4$	1	1	1
$S ^ 3$	4 2	2 1
$S ^ 2$	$\ frac {(2 \ times 1) - (1 \ times 1)} {2} = 0,5$	$\ frac {(2 \ times 1) - (0 \ times 1)} {2} = 1$
$S ^ 1$	$\ frac {(0.5 \ times 1) - (1 \ times 2)} {0.5} = \ frac {-1.5} {0.5} = - 3$
$S ^ 0$	1

$S ^ 5$

1

1

1

$S ^ 4$

1

1

1

$S ^ 3$

4 2

2 1

$S ^ 2$

$\ frac {(2 \ times 1) - (1 \ times 1)} {2} = 0,5$

$\ frac {(2 \ times 1) - (0 \ times 1)} {2} = 1$

$S ^ 1$

$\ frac {(0.5 \ times 1) - (1 \ times 2)} {0.5} = \ frac {-1.5} {0.5} = - 3$

$S ^ 0$

1

Шаг 3 — Проверьте достаточное условие устойчивости Рауса-Гурвица.

В первом столбце Routh таблицы есть два изменения знака. Следовательно, система управления нестабильна.

В критерии устойчивости Рауса-Гурвица мы можем знать, находятся ли полюсы замкнутого контура в левой половине плоскости ‘s’ или в правой половине плоскости ‘s’ или на мнимой оси. Итак, мы не можем найти природу системы управления. Чтобы преодолеть это ограничение, существует метод, известный как корневой локус. Мы обсудим эту технику в следующих двух главах.