Системы управления — анализ состояния пространства

В предыдущей главе мы узнали, как получить модель пространства состояний из дифференциального уравнения и передаточной функции. В этой главе мы обсудим, как получить передаточную функцию из модели пространства состояний.

Передаточная функция из модели пространства состояний

Мы знаем, что модель пространства состояний линейной инвариантной по времени системы (LTI) —

$$\ точка {X} = AX + BU$$

$$Y = CX + DU$$

Примените преобразование Лапласа с обеих сторон уравнения состояния.

$$Sx (s) = АХ (тв) + Bu (ы)$$

$$\ Rightarrow (sI-A) X (s) = BU (s)$$

$$\ Rightarrow X (s) = (sI-A) ^ {- 1} BU (s)$$

Примените преобразование Лапласа с обеих сторон выходного уравнения.

$$Y (s) = СХ (тв) + DU (ы)$$

Подставьте значение X (s) в приведенном выше уравнении.

$$\ Rightarrow Y (s) = C (sI-A) ^ {- 1} BU (s) + DU (s)$$

$$\ Rightarrow Y (s) = [C (sI-A) ^ {- 1} B + D] U (s)$$

$$\ Rightarrow \ frac {Y (s)} {U (s)} = C (sI-A) ^ {- 1} B + D$$

Вышеупомянутое уравнение представляет передаточную функцию системы. Таким образом, мы можем вычислить передаточную функцию системы, используя эту формулу для системы, представленной в модели пространства состояний.

Примечание. Когда $D = [0]$, передаточная функция будет

$$\ гидроразрыва {Y (s)} {U (s)} = С (Si-А) ^ {- 1} В$$

пример

Рассчитаем передаточную функцию системы, представленной в модели пространства состояний, как,

$$\ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} [u]$$

$$Y = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix}$$

Вот,

$$A = \ begin {bmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix}, \ quad B = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix}, \ quad C = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ quad и \ quad D = [0]$$

Формула для передаточной функции при $D = [0]$ равна —

$$\ гидроразрыва {Y (s)} {U (s)} = С (Si-А) ^ {- 1} В$$

Замените матрицы A, B и C в приведенном выше уравнении.

$$\ frac {Y (s)} {U (s)} = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} s + 1 & 1 \\ - 1 & s \ end {bmatrix } ^ {- 1} \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix}$$

$$\ Rightarrow \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ frac {\ begin {bmatrix} s & -1 \\ 1 & s + 1 \ end {bmatrix}} {(s + 1) s-1 (-1)} \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix}$$

$$\ Rightarrow \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ frac {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} s \\ 1 \ end {bmatrix}} {s ^ 2 + s + 1} = \ гидроразрыва {1} {s ^ 2 + s + 1}$$

Следовательно, передаточная функция системы для данной модели пространства состояний

$$\ гидроразрыва {Y (ы)} {U (ы)} = \ гидроразрыва {1} {S ^ 2 + S + 1}$$

Матрица государственных переходов и ее свойства

Если система имеет начальные условия, она выдаст результат. Так как этот вывод присутствует даже при отсутствии ввода, он называется нулевым входным откликом $x_ {ZIR} (t)$. Математически мы можем записать это как

$$x_ {ZIR} (t) = e ^ {At} X (0) = L ^ {- 1} \ left \ {\ left [sI-A \ right] ^ {- 1} X (0) \ right \}$$

Из приведенного выше соотношения можно записать матрицу перехода состояний $\ phi (t)$ в виде

$$\ Phi (т) = е ^ {В} = L ^ {- 1} [Si-А] ^ {- 1}$$

Таким образом, нулевой входной отклик может быть получен умножением матрицы перехода состояний $\ phi (t)$ на матрицу начальных условий.

Ниже приведены свойства матрицы перехода состояний.

• Если $t = 0$, то матрица перехода состояний будет равна матрице идентичности.

  $$\ phi (0) = I$$

• Обратная матрица перехода состояний будет такой же, как и матрица перехода состояний, просто заменив ‘t’ на ‘-t’.

  $$\ phi ^ {- 1} (t) = \ phi (−t)$$

• Если $t = t_1 + t_2$, то соответствующая матрица перехода состояний равна умножению двух матриц перехода состояний при $t = t_1$ и $t = t_2$.

  $$\ phi (t_1 + t_2) = \ phi (t_1) \ phi (t_2)$$

Если $t = 0$, то матрица перехода состояний будет равна матрице идентичности.

$$\ phi (0) = I$$

Обратная матрица перехода состояний будет такой же, как и матрица перехода состояний, просто заменив ‘t’ на ‘-t’.

$$\ phi ^ {- 1} (t) = \ phi (−t)$$

Если $t = t_1 + t_2$, то соответствующая матрица перехода состояний равна умножению двух матриц перехода состояний при $t = t_1$ и $t = t_2$.

$$\ phi (t_1 + t_2) = \ phi (t_1) \ phi (t_2)$$

Управляемость и наблюдаемость

Давайте теперь обсудим управляемость и наблюдаемость системы управления один за другим.

контролируемость

Говорят, что система управления является управляемой, если начальные состояния системы управления переводятся (изменяются) в некоторые другие требуемые состояния с помощью управляемого входа за конечную продолжительность.

Мы можем проверить управляемость системы управления с помощью теста Калмана .

• Запишите матрицу $Q_c$ в следующем виде.

  $$Q_c = \ left [B \ quad AB \ quad A ^ 2B \ quad ... \ quad A ^ {n-1} B \ right]$$

• Найти определитель матрицы $Q_c$ и, если он не равен нулю, то система управления является управляемой.

Запишите матрицу $Q_c$ в следующем виде.

$$Q_c = \ left [B \ quad AB \ quad A ^ 2B \ quad ... \ quad A ^ {n-1} B \ right]$$

Найти определитель матрицы $Q_c$ и, если он не равен нулю, то система управления является управляемой.

возможность наблюдения

Считается, что система управления является наблюдаемой, если она способна определять начальные состояния системы управления, наблюдая за выходами в течение конечного промежутка времени.

Мы можем проверить наблюдаемость системы управления с помощью теста Калмана .

• Запишите матрицу $Q_o$ в следующем виде.

  $$Q_o = \ left [C ^ T \ quad A ^ TC ^ T \ quad (A ^ T) ^ 2C ^ T \ quad ... \ quad (A ^ T) ^ {n-1} C ^ T \ правильно]$$

• Найти определитель матрицы $Q_o$ и, если она не равна нулю, то система управления наблюдаема.

Запишите матрицу $Q_o$ в следующем виде.

$$Q_o = \ left [C ^ T \ quad A ^ TC ^ T \ quad (A ^ T) ^ 2C ^ T \ quad ... \ quad (A ^ T) ^ {n-1} C ^ T \ правильно]$$

Найти определитель матрицы $Q_o$ и, если она не равна нулю, то система управления наблюдаема.

пример

Давайте проверим управляемость и наблюдаемость системы управления, которая представлена ​​в модели пространства состояний как,

$$\ dot {x} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} [u]$$

$$Y = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix}$$

Вот,

$$A = \ begin {bmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix}, \ quad B = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix}, \ quad \ begin {bmatrix } 0 & 1 \ end {bmatrix}, D = [0] \ quad и \ quad n = 2$$

Для $n = 2$ матрица $Q_c$ будет

$$Q_c = \ left [B \ quad AB \ right]$$

Мы получим произведение матриц A и B как,

AB= beginbmatrix−11 endbmatrix $$AB = \ begin {bmatrix} -1 \\ 1 \ end {bmatrix}$$

$$\ Rightarrow Q_c = \ begin {bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}$$

$$| Q_c | = 1 \ neq 0$$

Поскольку определитель матрицы $Q_c$ не равен нулю, данная система управления является управляемой.

Для $n = 2$ матрица $Q_o$ будет иметь вид —

$$Q_o = \ left [C ^ T \ quad A ^ TC ^ T \ right]$$

Вот,

$$ A ^ T = \ begin {bmatrix} -1 & 1 \\ — 1 & 0 \ end {bmatrix} \ quad и \ quad C ^ T = \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} $ $

Мы получим произведение матриц $A ^ T$ и $C ^ T$ как

$$A ^ TC ^ T = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix}$$

$$\ Rightarrow Q_o = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix}$$

$$\ Rightarrow | Q_o | = -1 \ quad \ neq 0$$

Поскольку определитель матрицы $Q_o$ не равен нулю, данная система управления наблюдаема.

Следовательно, данная система управления является одновременно управляемой и наблюдаемой.