Учебники

Системы управления – полярные участки

В предыдущих главах мы обсуждали графики Боде. Там у нас есть два отдельных графика для амплитуды и фазы как функции частоты. Давайте теперь поговорим о полярных участках. Полярный график – это график, который можно нарисовать между величиной и фазой. Здесь величины представлены только нормальными значениями.

Полярная форма G(j omega)H(j omega)

$$ G (J \ омега) H (J \ омега) = | G (J \ омега) H (J \ омега) | \ angle G (j \ omega) H (j \ omega) $$

Полярный график – это график, который можно нарисовать между величиной и фазовым углом G(j omega)H(j omega), изменяя  omega от нуля до ∞. Таблица полярного графика показана на следующем рисунке.

Полярный участок

Этот график состоит из концентрических кругов и радиальных линий. Концентрические окружности и радиальные линии представляют величины и фазовые углы соответственно. Эти углы представлены положительными значениями в направлении против часовой стрелки. Точно так же мы можем представить углы с отрицательными значениями по часовой стрелке. Например, угол 270 0 в направлении против часовой стрелки равен углу -90 0 в направлении по часовой стрелке.

Правила рисования полярных графиков

Следуйте этим правилам для построения полярных графиков.

  • Замените s=j omega в передаточной функции без обратной связи.

  • Напишите выражения для величины и фазы G(j omega)H(j omega).

  • Найдите начальную величину и фазу G(j omega)H(j omega), подставив  omega=0. Итак, полярный график начинается с этой величины и фазового угла.

  • Найдите конечную величину и фазу G(j omega)H(j omega), подставив  omega= infty. Итак, полярный график заканчивается этой величиной и фазовым углом.

  • Проверьте, пересекает ли полярный график действительную ось, сделав мнимый член G(j omega)H(j omega) равным нулю, и найдите значение (я)  omega.

  • Проверьте, пересекает ли полярный график мнимую ось, сделав реальный член G(j omega)H(j omega) равным нулю, и найдите значение (я)  omega.

  • Для более четкого прорисовки полярного графика найдите величину и фазу G(j omega)H(j omega), учитывая другие значения  omega.

Замените s=j omega в передаточной функции без обратной связи.

Напишите выражения для величины и фазы G(j omega)H(j omega).

Найдите начальную величину и фазу G(j omega)H(j omega), подставив  omega=0. Итак, полярный график начинается с этой величины и фазового угла.

Найдите конечную величину и фазу G(j omega)H(j omega), подставив  omega= infty. Итак, полярный график заканчивается этой величиной и фазовым углом.

Проверьте, пересекает ли полярный график действительную ось, сделав мнимый член G(j omega)H(j omega) равным нулю, и найдите значение (я)  omega.

Проверьте, пересекает ли полярный график мнимую ось, сделав реальный член G(j omega)H(j omega) равным нулю, и найдите значение (я)  omega.

Для более четкого прорисовки полярного графика найдите величину и фазу G(j omega)H(j omega), учитывая другие значения  omega.

пример

Рассмотрим передаточную функцию без обратной связи системы управления с обратной связью.

G(s)H(s)= гидроразрыва5s(s+1),(s+2)

Давайте нарисуем полярный график для этой системы управления, используя приведенные выше правила.

Шаг 1 – Заменить s=j omega в передаточной функции без обратной связи.

G(J омега)Н(J омега)= гидроразрыва5J омега(J омега+1),(J омега+2)

Величина передаточной функции без обратной связи

М= гидроразрыва5 Omega( SQRT Omega2+1)( SQRT Omega2+4)

Фазовый угол передаточной функции без обратной связи

 Phi=900 загаром1  загаромомега1 гидроразрыва Omega2

Шаг 2 – В следующей таблице приведены величина и фазовый угол передаточной функции разомкнутого контура при  omega=0 рад / с и  omega= infty рад / с.

Частота (рад / сек) величина Фазовый угол (градусы)
0 -90 или 270
0 -270 или 90

Итак, полярный график начинается в (∞, −90 0 ) и заканчивается в (0, −270 0 ). Первое и второе слагаемые в скобках указывают величину и фазовый угол соответственно.

Шаг 3 – На основе начальной и конечной полярных координат, этот полярный график будет пересекать отрицательную действительную ось. Фазовый угол, соответствующий отрицательной действительной оси, равен -180 0 или 180 0 . Таким образом, приравнивая фазовый угол передаточной функции разомкнутого контура к -180 0 или 180 0 , мы получим значение  omega как  sqrt2.

Подставляя  omega= sqrt2 в величину передаточной функции с разомкнутым контуром, мы получим M=0.83. Следовательно, полярный график пересекает отрицательную вещественную ось, когда  omega= sqrt2 и полярная координата равна (0,83, -180 0 ).

Таким образом, мы можем нарисовать полярный график с приведенной выше информацией на листе полярного графика.