Системы управления — полярные участки

В предыдущих главах мы обсуждали графики Боде. Там у нас есть два отдельных графика для амплитуды и фазы как функции частоты. Давайте теперь поговорим о полярных участках. Полярный график — это график, который можно нарисовать между величиной и фазой. Здесь величины представлены только нормальными значениями.

Полярная форма $G (j \ omega) H (j \ omega)$

$$ G (J \ омега) H (J \ омега) = | G (J \ омега) H (J \ омега) | \ angle G (j \ omega) H (j \ omega) $$

Полярный график — это график, который можно нарисовать между величиной и фазовым углом $G (j \ omega) H (j \ omega)$, изменяя $\ omega$ от нуля до ∞. Таблица полярного графика показана на следующем рисунке.

Этот график состоит из концентрических кругов и радиальных линий. Концентрические окружности и радиальные линии представляют величины и фазовые углы соответственно. Эти углы представлены положительными значениями в направлении против часовой стрелки. Точно так же мы можем представить углы с отрицательными значениями по часовой стрелке. Например, угол 270 ⁰ в направлении против часовой стрелки равен углу -90 ⁰ в направлении по часовой стрелке.

Правила рисования полярных графиков

Следуйте этим правилам для построения полярных графиков.

• Замените $s = j \ omega$ в передаточной функции без обратной связи.

• Напишите выражения для величины и фазы $G (j \ omega) H (j \ omega)$.

• Найдите начальную величину и фазу $G (j \ omega) H (j \ omega)$, подставив $\ omega = 0$. Итак, полярный график начинается с этой величины и фазового угла.

• Найдите конечную величину и фазу $G (j \ omega) H (j \ omega)$, подставив $\ omega = \ infty$. Итак, полярный график заканчивается этой величиной и фазовым углом.

• Проверьте, пересекает ли полярный график действительную ось, сделав мнимый член $G (j \ omega) H (j \ omega)$ равным нулю, и найдите значение (я) $\ omega$.

• Проверьте, пересекает ли полярный график мнимую ось, сделав реальный член $G (j \ omega) H (j \ omega)$ равным нулю, и найдите значение (я) $\ omega$.

• Для более четкого прорисовки полярного графика найдите величину и фазу $G (j \ omega) H (j \ omega)$, учитывая другие значения $\ omega$.

Замените $s = j \ omega$ в передаточной функции без обратной связи.

Напишите выражения для величины и фазы $G (j \ omega) H (j \ omega)$.

Найдите начальную величину и фазу $G (j \ omega) H (j \ omega)$, подставив $\ omega = 0$. Итак, полярный график начинается с этой величины и фазового угла.

Найдите конечную величину и фазу $G (j \ omega) H (j \ omega)$, подставив $\ omega = \ infty$. Итак, полярный график заканчивается этой величиной и фазовым углом.

Проверьте, пересекает ли полярный график действительную ось, сделав мнимый член $G (j \ omega) H (j \ omega)$ равным нулю, и найдите значение (я) $\ omega$.

Проверьте, пересекает ли полярный график мнимую ось, сделав реальный член $G (j \ omega) H (j \ omega)$ равным нулю, и найдите значение (я) $\ omega$.

Для более четкого прорисовки полярного графика найдите величину и фазу $G (j \ omega) H (j \ omega)$, учитывая другие значения $\ omega$.

пример

Рассмотрим передаточную функцию без обратной связи системы управления с обратной связью.

$$G (s) H (s) = \ гидроразрыва {5} {s (s + 1), (s + 2)}$$

Давайте нарисуем полярный график для этой системы управления, используя приведенные выше правила.

Шаг 1 — Заменить $s = j \ omega$ в передаточной функции без обратной связи.

$$G (J \ омега) Н (J \ омега) = \ гидроразрыва {5} {J \ омега (J \ омега + 1), (J \ омега + 2)}$$

Величина передаточной функции без обратной связи

$$М = \ гидроразрыва {5} {\ Omega (\ SQRT {\ Omega ^ 2 + 1}) (\ SQRT {\ Omega ^ 2 + 4})}$$

Фазовый угол передаточной функции без обратной связи

$$\ Phi = -90 ^ 0- \ загаром ^ {- 1} \ \ загаром омега ^ {- 1} \ гидроразрыва {\ Omega} {2}$$

Шаг 2 — В следующей таблице приведены величина и фазовый угол передаточной функции разомкнутого контура при $\ omega = 0$ рад / с и $\ omega = \ infty$ рад / с.

Итак, полярный график начинается в (∞, −90 ⁰ ) и заканчивается в (0, −270 ⁰ ). Первое и второе слагаемые в скобках указывают величину и фазовый угол соответственно.

Шаг 3 — На основе начальной и конечной полярных координат, этот полярный график будет пересекать отрицательную действительную ось. Фазовый угол, соответствующий отрицательной действительной оси, равен -180 ⁰ или 180 ⁰ . Таким образом, приравнивая фазовый угол передаточной функции разомкнутого контура к -180 ⁰ или 180 ⁰ , мы получим значение $\ omega$ как $\ sqrt {2}$.

Подставляя $\ omega = \ sqrt {2}$ в величину передаточной функции с разомкнутым контуром, мы получим $M = 0.83$. Следовательно, полярный график пересекает отрицательную вещественную ось, когда $\ omega = \ sqrt {2}$ и полярная координата равна (0,83, -180 ⁰ ).

Таким образом, мы можем нарисовать полярный график с приведенной выше информацией на листе полярного графика.