Мы уже обсуждали анализ времени отклика систем управления и спецификации временной области систем управления второго порядка. В этой главе мы обсудим анализ частотных характеристик систем управления и спецификации частотной области систем управления второго порядка.
Что такое частотный отклик?
Реакция системы может быть разделена как на переходную реакцию, так и на реакцию в установившемся режиме. Мы можем найти переходный отклик, используя интегралы Фурье. Отклик установившегося состояния системы на входной синусоидальный сигнал известен как частотный отклик . В этой главе мы сосредоточимся только на реакции устойчивого состояния.
Если синусоидальный сигнал подается в качестве входа в систему с линейной инвариантностью во времени (LTI), то он вырабатывает выход в устойчивом состоянии, который также является синусоидальным сигналом. Входные и выходные синусоидальные сигналы имеют одинаковую частоту, но разные амплитуды и фазовые углы.
Пусть входной сигнал будет —
$$ R (T) = A \ sin (\ omega_0t) $$
Передаточная функция с разомкнутым контуром будет —
$$ G (s) = G (J \ омега) $$
Мы можем представить $ G (j \ omega) $ в терминах величины и фазы, как показано ниже.
$$ G (J \ омега) = | G (J \ омега) | \ angle G (j \ omega) $$
Замените $ \ omega = \ omega_0 $ в приведенном выше уравнении.
$$ G (J \ omega_0) = | G (J \ omega_0) | \ angle G (j \ omega_0) $$
Выходной сигнал
$$ c (t) = A | G (j \ omega_0) | \ sin (\ omega_0t + \ angle G (j \ omega_0)) $$
-
Амплитуда выходного синусоидального сигнала получается путем умножения амплитуды входного синусоидального сигнала и величины $ G (j \ omega) $ на $ \ omega = \ omega_0 $.
-
Фаза выходного синусоидального сигнала получается путем сложения фазы входного синусоидального сигнала и фазы $ G (j \ omega) $ при $ \ omega = \ omega_0 $.
Амплитуда выходного синусоидального сигнала получается путем умножения амплитуды входного синусоидального сигнала и величины $ G (j \ omega) $ на $ \ omega = \ omega_0 $.
Фаза выходного синусоидального сигнала получается путем сложения фазы входного синусоидального сигнала и фазы $ G (j \ omega) $ при $ \ omega = \ omega_0 $.
Куда,
-
А — амплитуда входного синусоидального сигнала.
-
ω 0 — угловая частота входного синусоидального сигнала.
А — амплитуда входного синусоидального сигнала.
ω 0 — угловая частота входного синусоидального сигнала.
Мы можем написать угловую частоту $ \ omega_0 $, как показано ниже.
$$ \ omega_0 = 2 \ pi f_0 $$
Здесь $ f_0 $ — частота входного синусоидального сигнала. Точно так же вы можете следовать той же процедуре для замкнутой системы управления.
Спецификации частотной области
Спецификации частотной области: резонансный пик, резонансная частота и ширина полосы .
Рассмотрим передаточную функцию замкнутой системы управления второго порядка как,
$$ T (S) = \ гидроразрыва {C (S)} {R (S)} = \ {гидроразрыва \ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ дельта \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} $$
Замените $ s = j \ omega $ в приведенном выше уравнении.
$$ T (J \ Omega) = \ гидроразрыва {\ omega_n ^ 2} {(J \ Omega) ^ 2 + 2 \ дельта \ omega_n (J \ Omega) + \ omega_n ^ 2} $$
$$ \ Rightarrow T (j \ omega) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {- \ omega ^ 2 + 2j \ delta \ omega \ omega_n + \ omega_n ^ 2} = \ frac {\ omega_n ^ 2} {\ omega_n ^ 2 \ left (1- \ frac {\ omega ^ 2} {\ omega_n ^ 2} + \ frac {2j \ delta \ omega} {\ omega_n} \ right)} $$
$$ \ Rightarrow T (j \ omega) = \ frac {1} {\ left (1- \ frac {\ omega ^ 2} {\ omega_n ^ 2} \ right) + j \ left (\ frac {2 \ delta \ omega} {\ omega_n} \ right)} $$
Пусть $ \ frac {\ omega} {\ omega_n} = u $ Подставим это значение в вышеприведенное уравнение.
$$ T (j \ omega) = \ frac {1} {(1-u ^ 2) + j (2 \ delta u)} $$
Величина $ T (j \ omega) $ равна —
$$ M = | T (j \ omega) | = \ frac {1} {\ sqrt {(1-u ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta u) ^ 2}} $$
Фаза $ T (j \ omega) $ — это
$$ \ angle T (j \ omega) = — tan ^ {- 1} \ left (\ frac {2 \ delta u} {1-u ^ 2} \ right) $$
Резонансная частота
Это частота, на которой величина частотной характеристики впервые имеет пиковое значение. Обозначается $ \ omega_r $. При $ \ omega = \ omega_r $ первый производный величины $ T (j \ omega) $ равен нулю.
Продифференцируйте $ M $ относительно $ u $.
$$ \ frac {\ text {d} M} {\ text {d} u} = — \ frac {1} {2} \ left [(1-u ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta u) ^ 2 \ right] ^ {\ frac {-3} {2}} \ left [2 (1-u ^ 2) (- 2u) +2 (2 \ delta u) (2 \ delta) \ right] $$
$$ \ Rightarrow \ frac {\ text {d} M} {\ text {d} u} = — \ frac {1} {2} \ left [(1-u ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta u ) ^ 2 \ right] ^ {\ frac {-3} {2}} \ left [4u (u ^ 2-1 +2 \ delta ^ 2) \ right] $$
Замените $ u = u_r $ и $ \ frac {\ text {d} M} {\ text {d} u} == 0 $ в вышеприведенном уравнении.
$$ 0 = — \ frac {1} {2} \ left [(1-u_r ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta u_r) ^ 2 \ right] ^ {- \ frac {3} {2}} \ left [4u_r (u_r ^ 2-1 +2 \ delta ^ 2) \ right] $$
$$ \ Rightarrow 4u_r (u_r ^ 2-1 +2 \ delta ^ 2) = 0 $$
$$ \ Rightarrow u_r ^ 2-1 + 2 \ delta ^ 2 = 0 $$
$$ \ Rightarrow u_r ^ 2 = 1-2 \ delta ^ 2 $$
$$ \ Rightarrow u_r = \ sqrt {1-2 \ delta ^ 2} $$
Замените $ u_r = \ frac {\ omega_r} {\ omega_n} $ в приведенном выше уравнении.
$$ \ гидроразрыва {\ omega_r} {\ omega_n} = \ SQRT {1-2 \ Delta ^ 2} $$
$$ \ Rightarrow \ omega_r = \ omega_n \ sqrt {1-2 \ delta ^ 2} $$
Резонансный пик
Это пиковое (максимальное) значение величины $ T (j \ omega) $. Обозначается $ M_r $.
При $ u = u_r $ величина $ T (j \ omega) $ равна —
$$ M_r = \ frac {1} {\ sqrt {(1-u_r ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta u_r) ^ 2}} $$
Замените $ u_r = \ sqrt {1 — 2 \ delta ^ 2} $ и $ 1 — u_r ^ 2 = 2 \ delta ^ 2 $ в вышеприведенном уравнении.
$$ M_r = \ frac {1} {\ sqrt {(2 \ delta ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta \ sqrt {1-2 \ delta ^ 2}) ^ 2}} $$
$$ \ Rightarrow M_r = \ frac {1} {2 \ delta \ sqrt {1- \ delta ^ 2}} $$
Резонансный пик в частотной характеристике соответствует пиковому превышению в переходной характеристике во временной области для определенных значений коэффициента затухания $ \ delta $. Таким образом, резонансный пик и выброс пика коррелируют друг с другом.
Пропускная способность
Это диапазон частот, в котором величина $ T (j \ omega) $ падает до 70,7% от нулевого значения частоты.
При $ \ omega = 0 $ значение $ u $ будет равно нулю.
Подставим $ u = 0 $ в M.
$$ M = \ frac {1} {\ sqrt {(1-0 ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta (0)) ^ 2}} = 1 $$
Следовательно, величина $ T (j \ omega) $ равна единице при $ \ omega = 0 $.
При частоте 3 дБ величина $ T (j \ omega) $ будет составлять 70,7% от величины $ T (j \ omega) $ при $ \ omega = 0 $.
т. е. при $ \ omega = \ omega_B, M = 0,707 (1) = \ frac {1} {\ sqrt {2}} $
$$ \ Rightarrow M = \ frac {1} {\ sqrt {2}} = \ frac {1} {\ sqrt {(1-u_b ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta u_b) ^ 2}} $$
$$ \ Rightarrow 2 = (1-u_b ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta) ^ 2 u_b ^ 2 $$
Пусть, $ u_b ^ 2 = x $
$$ \ Rightarrow 2 = (1-x) ^ 2 + (2 \ delta) ^ 2 x $$
$$ \ Rightarrow x ^ 2 + (4 \ delta ^ 2-2) x-1 = 0 $$
$$ \ Rightarrow x = \ frac {- (4 \ delta ^ 2 -2) \ pm \ sqrt {(4 \ delta ^ 2-2) ^ 2 + 4}} {2} $$
Рассмотрим только положительное значение х.
$$ x = 1-2 \ delta ^ 2 + \ sqrt {(2 \ delta ^ 2-1) ^ 2 + 1} $$
$$ \ Rightarrow x = 1-2 \ delta ^ 2 + \ sqrt {(2-4 \ delta ^ 2 + 4 \ delta ^ 4)} $$
Заменить $ x = u_b ^ 2 = \ frac {\ omega_b ^ 2} {\ omega_n ^ 2} $
$$ \ frac {\ omega_b ^ 2} {\ omega_n ^ 2} = 1-2 \ delta ^ 2 + \ sqrt {(2-4 \ delta ^ 2 + 4 \ delta ^ 4)} $$
$$ \ Rightarrow \ omega_b = \ omega_n \ sqrt {1-2 \ delta ^ 2 + \ sqrt {(2-4 \ delta ^ 2 + 4 \ delta ^ 4)}} $$
Полоса пропускания $ \ omega_b $ в частотной характеристике обратно пропорциональна времени нарастания $ t_r $ в переходной характеристике во временной области.