Учебники

Системы управления — Nyquist Plots

Графики Найквиста являются продолжением полярных графиков для нахождения устойчивости замкнутых систем управления путем изменения ω от −∞ до ∞. Это означает, что графики Найквиста используются для построения полной частотной характеристики передаточной функции с разомкнутым контуром.

Критерий устойчивости Найквиста

Критерий устойчивости Найквиста работает по принципу аргументации . В нем говорится, что если P полюсов и Z нулей заключены в замкнутый путь плоскости s, то соответствующая плоскость $ G (s) H (s) $ должна окружать начало координат $ P — Z $. Итак, мы можем записать число окружностей N как,

$$ N = PZ $$

  • Если замкнутый путь вложенной плоскости «s» содержит только полюса, то направление окружения в плоскости $ G (s) H (s) $ будет противоположным направлению замкнутого пути в плоскости «s».

  • Если замкнутый путь в плоскости «s» содержит только нули, то направление окружности в плоскости $ G (s) H (s) $ будет таким же, как направление замкнутого пути в замкнутом пути в «s» самолет.

Если замкнутый путь вложенной плоскости «s» содержит только полюса, то направление окружения в плоскости $ G (s) H (s) $ будет противоположным направлению замкнутого пути в плоскости «s».

Если замкнутый путь в плоскости «s» содержит только нули, то направление окружности в плоскости $ G (s) H (s) $ будет таким же, как направление замкнутого пути в замкнутом пути в «s» самолет.

Давайте теперь применим принцип аргумента ко всей правой половине плоскости ‘s’, выбрав ее в качестве замкнутого пути. Этот выбранный путь называется контуром Найквиста .

Мы знаем, что система управления с обратной связью устойчива, если все полюсы передаточной функции с обратной связью находятся в левой половине плоскости ‘s’. Таким образом, полюсы передаточной функции с замкнутым контуром — не что иное, как корни характеристического уравнения. При увеличении порядка характеристического уравнения трудно найти корни. Итак, сопоставим эти корни характеристического уравнения следующим образом.

  • Поляки характеристического уравнения такие же, как и у полюсов передаточной функции с разомкнутым контуром.

  • Нули характеристического уравнения такие же, как и у полюсов передаточной функции замкнутого контура.

Поляки характеристического уравнения такие же, как и у полюсов передаточной функции с разомкнутым контуром.

Нули характеристического уравнения такие же, как и у полюсов передаточной функции замкнутого контура.

Мы знаем, что система управления с разомкнутым контуром стабильна, если в правой половине плоскости ‘s’ нет полюса с разомкнутым контуром.

т. е. $ P = 0 \ Rightarrow N = -Z $

Мы знаем, что система управления с обратной связью стабильна, если в правой половине плоскости ‘s’ нет полюса с обратной связью.

т. е. $ Z = 0 \ Rightarrow N = P $

Критерий устойчивости Найквиста гласит, что количество окружностей вокруг критической точки (1 + j0) должно быть равно полюсам характеристического уравнения, которое является ничем иным, как полюсами передаточной функции разомкнутого контура в правой половине плоскости ‘s’. Сдвиг начала координат (1 + j0) дает плоскость характеристического уравнения.

Правила рисования графиков Найквиста

Следуйте этим правилам для построения графиков Найквиста.

  • Найдите полюсы и нули передаточной функции $ G (s) H (s) $ разомкнутой петли в плоскости ‘s’.

  • Нарисуйте полярный график, изменяя $ \ omega $ от нуля до бесконечности. Если полюс или ноль присутствуют при s = 0, то варьирование $ \ omega $ от 0+ до бесконечности для рисования полярного графика.

  • Нарисуйте зеркальное изображение приведенного выше полярного графика для значений $ \ omega $ в диапазоне от −∞ до нуля (0 при наличии полюса или нуля при s = 0).

  • Количество полукругов бесконечного радиуса будет равно числу полюсов или нулей в начале координат. Полукруг бесконечного радиуса начнется в точке, где заканчивается зеркальное отображение полярного графика. И этот полукруг бесконечного радиуса закончится в точке, где начинается полярный график.

Найдите полюсы и нули передаточной функции $ G (s) H (s) $ разомкнутой петли в плоскости ‘s’.

Нарисуйте полярный график, изменяя $ \ omega $ от нуля до бесконечности. Если полюс или ноль присутствуют при s = 0, то варьирование $ \ omega $ от 0+ до бесконечности для рисования полярного графика.

Нарисуйте зеркальное изображение приведенного выше полярного графика для значений $ \ omega $ в диапазоне от −∞ до нуля (0 при наличии полюса или нуля при s = 0).

Количество полукругов бесконечного радиуса будет равно числу полюсов или нулей в начале координат. Полукруг бесконечного радиуса начнется в точке, где заканчивается зеркальное отображение полярного графика. И этот полукруг бесконечного радиуса закончится в точке, где начинается полярный график.

После построения графика Найквиста мы можем найти устойчивость замкнутой системы управления с использованием критерия устойчивости Найквиста. Если критическая точка (-1 + j0) лежит вне окружения, то система управления с обратной связью абсолютно устойчива.

Анализ стабильности с использованием графиков Найквиста

Из графиков Найквиста мы можем определить, является ли система управления стабильной, незначительно стабильной или нестабильной, основываясь на значениях этих параметров.

  • Усиление частоты и частоты фазового перехода
  • Прибыль маржи и фазовая маржа

Фаза пересечения частоты

Частота, с которой график Найквиста пересекает отрицательную действительную ось (фазовый угол равен 180 0 ), называется частотой пересечения фаз . Он обозначается как $ \ omega_ {pc} $.

Усиление пересекает частоту

Частота, на которой график Найквиста имеет величину единицу, известна как частота кроссовера усиления . Он обозначается как $ \ omega_ {gc} $.

Стабильность системы управления, основанная на соотношении частоты фазового перехода и частоты усиления, указана ниже.

  • Если частота перехода фазы $ \ omega_ {pc} $ больше частоты перехода коэффициента усиления $ \ omega_ {gc} $, то система управления устойчива .

  • Если частота перехода фазы $ \ omega_ {pc} $ равна частоте перехода усиления $ \ omega_ {gc} $, то система управления является минимально устойчивой .

  • Если частота фазового перехода $ \ omega_ {pc} $ меньше частоты фазового перехода $ \ omega_ {gc} $, то система управления неустойчива .

Если частота перехода фазы $ \ omega_ {pc} $ больше частоты перехода коэффициента усиления $ \ omega_ {gc} $, то система управления устойчива .

Если частота перехода фазы $ \ omega_ {pc} $ равна частоте перехода усиления $ \ omega_ {gc} $, то система управления является минимально устойчивой .

Если частота фазового перехода $ \ omega_ {pc} $ меньше частоты фазового перехода $ \ omega_ {gc} $, то система управления неустойчива .

Получить маржу

Запас усиления $ GM $ равен обратной величине графика Найквиста на частоте перехода фазы.

$$ GM = \ гидроразрыва {1} {M_ {пк}} $$

Где $ M_ {pc} $ — это величина в нормальном масштабе на частоте перехода фазы.

Фазовая маржа

Запас по фазе $ PM $ равен сумме 180 0 и фазового угла при частоте перехода усиления.

$$ PM = 180 ^ 0 + \ Phi_ {дс} $$

Где $ \ phi_ {gc} $ — фазовый угол на частоте перехода усиления.

Стабильность системы управления, основанная на связи между запасом усиления и запасом по фазе, указана ниже.

Если запас усиления $ GM $ больше единицы и запас по фазе $ PM $ положителен, то система управления стабильна .

Если запас усиления $ GM $ равен единице, а запас по фазе $ PM $ равен нулю градусов, то система управления незначительно устойчива .

Если запас усиления $ GM $ меньше единицы и / или запас по фазе $ PM $ отрицателен, то система управления нестабильна .