На диаграмме корневого локуса мы можем наблюдать путь полюсов замкнутого контура. Следовательно, мы можем определить природу системы управления. В этом методе мы будем использовать передаточную функцию с разомкнутым контуром, чтобы узнать стабильность системы управления с замкнутым контуром.
Основы корневого локуса
Корневой локус — это локус корней характеристического уравнения путем изменения коэффициента усиления системы K от нуля до бесконечности.
Мы знаем, что характеристическое уравнение замкнутой системы управления
$$ 1 + G (s) H (s) = 0 $$
Мы можем представить $ G (s) H (s) $ как
$$ G (s) H (s) = K \ гидроразрыва {N (S)} {D (s)} $$
Куда,
-
K представляет множитель
-
N (s) представляет собой числитель, имеющий (факторированный) полином n- го порядка от ‘s’.
-
D (s) представляет знаменатель, имеющий (факторированный) полином m- го порядка от ‘s’.
K представляет множитель
N (s) представляет собой числитель, имеющий (факторированный) полином n- го порядка от ‘s’.
D (s) представляет знаменатель, имеющий (факторированный) полином m- го порядка от ‘s’.
Подставим значение $ G (s) H (s) $ в характеристическое уравнение.
$$ 1 + к \ гидроразрыва {N (S)} {D (s)} = 0 $$
$$ \ Rightarrow D (s) + KN (s) = 0 $$
Случай 1 — К = 0
Если $ K = 0 $, то $ D (s) = 0 $.
Это означает, что полюса замкнутого контура равны полюсам разомкнутого контура, когда K равно нулю.
Случай 2 — K = ∞
Переписать приведенное выше характеристическое уравнение как
$$ K \ left (\ frac {1} {K} + \ frac {N (s)} {D (s)} \ right) = 0 \ Rightarrow \ frac {1} {K} + \ frac {N ( с)} {D (s)} = 0 $$
Замените $ K = \ infty $ в приведенном выше уравнении.
$$ \ frac {1} {\ infty} + \ frac {N (s)} {D (s)} = 0 \ Rightarrow \ frac {N (s)} {D (s)} = 0 \ Rightarrow N ( з) = 0 $$
Если $ K = \ infty $, то $ N (s) = 0 $. Это означает, что полюса замкнутого контура равны нулям разомкнутого контура, когда K бесконечность.
Из приведенных выше двух случаев можно сделать вывод, что ветви корневого локуса начинаются с полюсов разомкнутого контура и заканчиваются в нулях разомкнутого контура.
Угловое состояние и условие величины
Точки на ветвях корневого локуса удовлетворяют условию угла. Таким образом, условие угла используется, чтобы узнать, существует ли точка на ветви корневого локуса или нет. Мы можем найти значение K для точек на ветвях корневого локуса, используя условие величины. Таким образом, мы можем использовать условие величины для точек, и это удовлетворяет условию угла.
Характеристическое уравнение замкнутой системы управления
$$ 1 + G (s) H (s) = 0 $$
$$ \ Rightarrow G (s) H (s) = — 1 + j0 $$
Фазовый угол $ G (s) H (s) $ равен
$$ \ angle G (s) H (s) = \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {0} {- 1} \ right) = (2n + 1) \ pi $$
Условие угла — это точка, в которой угол передаточной функции разомкнутого контура нечетно кратен 180 0 .
Величина $ G (s) H (s) $ составляет —
$$ | G (s) H (s) | = \ sqrt {(-1) ^ 2 + 0 ^ 2} = 1 $$
Условием величины является то, что точка (которая удовлетворяла условию угла), в которой величина передаточной функции разомкнутого контура равна единице.