Учебники

Ответ системы первого заказа

В этой главе давайте обсудим временную характеристику системы первого порядка. Рассмотрим следующую блок-схему замкнутой системы управления. Здесь передаточная функция без обратной связи  frac1sT связана с единственной отрицательной обратной связью.

Unity Negative Feedback

Мы знаем, что передаточная функция замкнутой системы управления имеет единую отрицательную обратную связь, как,

 гидроразрываC(S)R(S)= гидроразрываG(s)1+G(s)

Замените G(s)= frac1sT в приведенном выше уравнении.

 гидроразрываC(S)R(S)= гидроразрыва гидроразрыва1St1+ гидроразрыва1St= гидроразрыва1ST+1

Степень s равна единице в знаменателе. Следовательно, вышеупомянутая передаточная функция имеет первый порядок, и система называется системой первого порядка .

Мы можем переписать приведенное выше уравнение как

C(s)= left( frac1sT+1 right)R(s)

Куда,

  • C (s) – преобразование Лапласа выходного сигнала c (t),

  • R (s) – преобразование Лапласа входного сигнала r (t), и

  • Т – постоянная времени.

C (s) – преобразование Лапласа выходного сигнала c (t),

R (s) – преобразование Лапласа входного сигнала r (t), и

Т – постоянная времени.

Выполните следующие действия, чтобы получить ответ (вывод) системы первого порядка во временной области.

  • Возьмем преобразование Лапласа входного сигнала r(t).

  • Рассмотрим уравнение, C(s)= left( frac1sT+1 right)R(s)

  • Замените значение R(s) в приведенном выше уравнении.

  • Делайте частичные дроби C(s), если требуется.

  • Примените обратное преобразование Лапласа к C(s).

Возьмем преобразование Лапласа входного сигнала r(t).

Рассмотрим уравнение, C(s)= left( frac1sT+1 right)R(s)

Замените значение R(s) в приведенном выше уравнении.

Делайте частичные дроби C(s), если требуется.

Примените обратное преобразование Лапласа к C(s).

В предыдущей главе мы видели стандартные тестовые сигналы, такие как импульс, шаг, линейное изменение и параболический сигнал. Давайте теперь выясним ответы системы первого порядка для каждого входа, один за другим. Имя ответа дается в соответствии с именем входного сигнала. Например, отклик системы на импульсный вход называется импульсным откликом.

Импульсный отклик системы первого порядка

Рассмотрим импульсный сигнал устройства как вход в систему первого порядка.

Итак, r(t)= delta(t)

Примените преобразование Лапласа с обеих сторон.

R(s)=1

Рассмотрим уравнение, C(s)= left( frac1sT+1 right)R(s)

Замените R(s)=1 в приведенном выше уравнении.

C(s)= left( frac1sT+1 right)(1)= frac1sT+1

Переставьте приведенное выше уравнение в одну из стандартных форм преобразований Лапласа.

C(s)= frac1T left( s+ frac1T right) RightarrowC(s)= frac1T left( frac1s+ frac1T right)

Примените обратное преобразование Лапласа с обеих сторон.

c(t)= frac1Te left( fractT right)u(t)

Импульсная характеристика устройства показана на следующем рисунке.

Импульсный ответ

Единичная импульсная характеристика , c (t), представляет собой экспоненциальный затухающий сигнал для положительных значений «t», и он равен нулю для отрицательных значений «t».

Шаговая реакция системы первого заказа

Рассмотрим сигнал единичного шага как вход в систему первого порядка.

Итак, r(t)=u(t)

Примените преобразование Лапласа с обеих сторон.

R(s)= гидроразрыва1s

Рассмотрим уравнение, C(s)= left( frac1sT+1 right)R(s)

Замените R(s)= frac1s в приведенном выше уравнении.

C(s)= left( frac1sT+1 right) left( frac1s right)= frac1s left(sT+1 right)

Делаем частичные дроби из C (s).

C(s)= frac1s left(sT+1 right)= fracAs+ fracBsT+1

 Rightarrow frac1s left(sT+1 right)= fracA left(sT+1 right)+Bss left(sT+1 right)

Обе стороны знаменателя одинаковы. Таким образом, они будут отменены друг другом. Следовательно, приравнивайте члены числителя.

1=A left(sT+1 right)+Bs

Приравнивая постоянные члены с обеих сторон, вы получите A = 1.

Подставим A = 1 и уравняем коэффициент слагаемых с обеих сторон.

0=T+B RightarrowB=T

Подставим, A = 1 и B = −T при частичном разложении в C(s).

C(s)= frac1s fracTsT+1= frac1s fracTT left(s+ frac1T right)

 RightarrowC(s)= frac1s frac1s+ frac1T

Примените обратное преобразование Лапласа с обеих сторон.

c(t)= left(1e left( fractT right) right)u(t)

Реакция на единичный шаг c (t) имеет как переходные, так и установившиеся состояния.

Переходный член в ответе на единичный шаг –

ctr(t)=e left( fractT right)u(t)

Термин установившегося состояния в ответе шага блока –

Cсс(т)=и(т)

На следующем рисунке показан ответ шага устройства.

Шаг Ответ

Значение единичного шага отклика c (t) равно нулю при t = 0 и для всех отрицательных значений t. Он постепенно увеличивается от нулевого значения и, наконец, достигает единицы в устойчивом состоянии. Таким образом, значение установившегося состояния зависит от величины входного сигнала.

Реакция системы первого порядка

Рассмотрим сигнал линейного изменения в качестве входа в систему первого порядка.

Итак,r(t)=tu(t)

Примените преобразование Лапласа с обеих сторон.

R(s)= гидроразрыва1s2

Рассмотрим уравнение, C(s)= left( frac1sT+1 right)R(s)

Замените R(s)= frac1s2 в вышеприведенном уравнении.

C(s)= left( frac1sT+1 right) left( frac1s2 right)= frac1s2(ST+1)

Делаем частичные дроби C(s).

C(S)= гидроразрыва1s2(ST+1)= гидроразрываA,s2+ гидроразрываB,s+ гидроразрываC,St+1

 Rightarrow frac1s2(sT+1)= fracA(sT+1)+Bs(sT+1)+Cs2s2(sT+1)

Обе стороны знаменателя одинаковы. Таким образом, они будут отменены друг другом. Следовательно, приравнивайте члены числителя.

1=А(St+1)Bs(ST+1)+Cs2

Приравнивая постоянные члены с обеих сторон, вы получите A = 1.

Подставим A = 1 и уравняем коэффициент слагаемых с обеих сторон.

0=T+B RightarrowB=T

Аналогично подставьте B = −T и приравните коэффициент слагаемых s2 с обеих сторон. Вы получите C=T2.

Замените A = 1, B = −T и C=T2 в разложении по частям в C(s).

C(S)= гидроразрыва1s2 гидроразрываT,s+ гидроразрываТ2ST+1= гидроразрыва1s2 fracTs+ fracT2T left(s+ frac1T right)

 RightarrowC(s)= frac1s2 fracTs+ fracTs+ frac1T

Примените обратное преобразование Лапласа с обеих сторон.

c(t)= left(tT+Te left( fractT right) right)u(t)

Реакция единичного изменения , c (t), имеет как переходные, так и установившиеся состояния.

Переходный член в отклике линейного изменения –

ctr(t)=Te left( fractT right)u(t)

Термин установившегося состояния в ответе линейного изменения –

Cсс(т)=(Tt)и(г)

На следующем рисунке показан ответ линейного изменения.

Ramp Response

Реакция единичного изменения , c (t), следует за входным сигналом линейного изменения для всех положительных значений t. Но есть отклонение T единиц от входного сигнала.

Параболический ответ системы первого порядка

Рассмотрим единичный параболический сигнал как вход в систему первого порядка.

Итак, r(t)= fract22u(t)

Примените преобразование Лапласа с обеих сторон.

R(s)= гидроразрыва1s3

Рассмотрим уравнение, C(s)= left( frac1sT+1 right)R(s)

Замените R(s)= frac1s3 в вышеприведенном уравнении.

C(s)= left( frac1sT+1 right) left( frac1s3 right)= frac1s3(ST+1)

Делаем частичные дроби C(s).

C(S)= гидроразрыва1s3(ST+1)= гидроразрываA,s3+ гидроразрываB,s2+ гидроразрываCs+ гидроразрываDST+1

После упрощения вы получите значения A, B, C и D как 1, T,T2иT3 соответственно. Подставьте эти значения в приведенное выше частичное расширение доли C (s).

C(S)= гидроразрыва1s3 гидроразрываT,s2+ гидроразрываТ2s гидроразрываТ3ST+1 RightarrowC(s)= frac1s3 fracTs2+ fracT2s fracT2s+ гидроразрыва1T

Примените обратное преобразование Лапласа с обеих сторон.

c(t)= left( fract22Tt+T2T2e left( fractT right) right)и(г)

Единичный параболический отклик c (t) имеет как переходные, так и стационарные условия.

Переходный член в единичном параболическом ответе

Ctr(t)=T2e left( fractT right)u(t)

Член стационарного состояния в единичном параболическом ответе равен

Css(t)= left( fract22Tt+T2 right)u(t)

Из этих ответов мы можем сделать вывод, что системы управления первого порядка нестабильны с линейными и параболическими входами, потому что эти реакции продолжают увеличиваться даже в бесконечное количество времени. Системы управления первого порядка стабильны с импульсными и шаговыми входами, потому что эти отклики имеют ограниченный выход. Но импульсный отклик не имеет устойчивого состояния. Таким образом, шаговый сигнал широко используется во временной области для анализа систем управления по их откликам.