Моделирование механических систем

В этой главе мы обсудим моделирование дифференциальных уравнений механических систем. Существует два типа механических систем, основанных на типе движения.

• Трансляционные механические системы
• Ротационные механические системы

Моделирование трансляционных механических систем

Поступательные механические системы движутся по прямой . Эти системы в основном состоят из трех основных элементов. Это масса, пружина и приборная панель или демпфер.

Если сила прикладывается к поступательной механической системе, то ей противостоят противоположные силы из-за массы, упругости и трения системы. Поскольку приложенная сила и противоположные силы находятся в противоположных направлениях, алгебраическая сумма сил, действующих на систему, равна нулю. Давайте теперь посмотрим на силу, которой противостоят эти три элемента в отдельности.

масса

Масса — это свойство тела, которое хранит кинетическую энергию . Если сила применяется к телу, имеющему массу М , то ей противостоит сила противодействия, обусловленная массой. Эта противодействующая сила пропорциональна ускорению тела. Предположим, что эластичность и трение незначительны.

Fm proptoa $$F_m \ propto \: a$$

$$\ Rightarrow F_m = Ma = M \ frac {\ text {d} ^ 2x} {\ text {d} t ^ 2}$$

$$F = f_m = М \ {\ гидроразрыва текст {D} ^ 2x} {\ текст {d} т ^ 2}$$

Куда,

• F — приложенная сила

• F _m — противодействующая сила, обусловленная массой

• М это масса

• а ускорение

• х смещение

F — приложенная сила

F _m — противодействующая сила, обусловленная массой

М это масса

а ускорение

х смещение

весна

Весна — это элемент, который накапливает потенциальную энергию . Если сила приложена к пружине K , то ей противостоит сила противодействия из-за упругости пружины. Эта противодействующая сила пропорциональна смещению пружины. Предположим, что масса и трение незначительны.

F proptox $$F \ propto \: x$$

$$\ Rightarrow F_k = Kx$$

$$F = F_k = Kx$$

Куда,

• F — приложенная сила

• F _k — противодействующая сила из-за упругости пружины

• К — пружинная постоянная

• х смещение

F — приложенная сила

F _k — противодействующая сила из-за упругости пружины

К — пружинная постоянная

х смещение

демпфер

Если сила приложена к передней панели B , то ей противостоит противоположная сила из-за трения передней панели. Эта противодействующая сила пропорциональна скорости тела. Предположим, что масса и эластичность незначительны.

Fb propto nu $$F_b \ propto \: \ nu$$

$$\ Rightarrow F_b = B \ nu = B \ frac {\ text {d} x} {\ text {d} t}$$

$$F = F_b = В \ гидроразрыва {\ текст {d} {х} \ текст {D} т}$$

Куда,

• F _b — противодействующая сила из-за трения приборной панели

• B — коэффициент трения

• v скорость

• х смещение

F _b — противодействующая сила из-за трения приборной панели

B — коэффициент трения

v скорость

х смещение

Моделирование вращательных механических систем

Вращательные механические системы движутся вокруг неподвижной оси. Эти системы в основном состоят из трех основных элементов. Это момент инерции, пружина кручения и приборная панель .

Если крутящий момент приложен к вращательной механической системе, то ему противостоят противоположные крутящие моменты из-за момента инерции, упругости и трения системы. Поскольку приложенный крутящий момент и противоположные крутящие моменты находятся в противоположных направлениях, алгебраическая сумма крутящих моментов, действующих на систему, равна нулю. Давайте теперь посмотрим крутящий момент, противостоящий этим трем элементам в отдельности.

Момент инерции

В поступательной механической системе масса накапливает кинетическую энергию. Аналогично, во вращательной механической системе момент инерции накапливает кинетическую энергию .

Если крутящий момент прикладывается к телу, имеющему момент инерции J , то ему противостоит противоположный крутящий момент, обусловленный моментом инерции. Этот противоположный крутящий момент пропорционален угловому ускорению тела. Предположим, что эластичность и трение незначительны.

Tj propto alpha $$T_j \ propto \: \ alpha$$

$$\ Rightarrow T_j = J \ alpha = J \ frac {\ text {d} ^ 2 \ theta} {\ text {d} t ^ 2}$$

$$Т = T_j = J \ гидроразрыва {\ текст {d} ^ 2 \ тета} {\ текст {d} т ^ 2}$$

Куда,

• T — приложенный крутящий момент

• T _j — противодействующий момент из-за момента инерции

• J — момент инерции

• α — угловое ускорение

• θ — угловое смещение

T — приложенный крутящий момент

T _j — противодействующий момент из-за момента инерции

J — момент инерции

α — угловое ускорение

θ — угловое смещение

Пружина кручения

В поступательной механической системе пружина накапливает потенциальную энергию. Аналогично, во вращательной механической системе торсионная пружина накапливает потенциальную энергию .

Если крутящий момент приложен к крутильной пружине K , то ему противостоит противоположный крутящий момент из-за упругости крутильной пружины. Этот противоположный крутящий момент пропорционален угловому смещению пружины кручения. Предположим, что момент инерции и трения ничтожен.

Tk propto theta $$T_k \ propto \: \ theta$$

$$\ Rightarrow T_k = K \ theta$$

$$T = T_k = K \ Theta$$

Куда,

• T — приложенный крутящий момент

• T _k — противодействующий момент из-за упругости пружины кручения

• K — постоянная пружины кручения

• θ — угловое смещение

T — приложенный крутящий момент

T _k — противодействующий момент из-за упругости пружины кручения

K — постоянная пружины кручения

θ — угловое смещение

демпфер

Если крутящий момент приложен к передней панели B , то ему противостоит противоположный крутящий момент из-за вращательного трения передней панели. Этот противоположный крутящий момент пропорционален угловой скорости тела. Предположим, что момент инерции и упругости незначительны.

Tb propto omega $$T_b \ propto \: \ omega$$

$$\ Rightarrow T_b = B \ omega = B \ frac {\ text {d} \ theta} {\ text {d} t}$$

$$Т = T_B = В \ гидроразрыва {\ текст {d} \ тета} {\ текст {d} т}$$

Куда,

T _b — противодействующий крутящий момент из-за вращательного трения передней панели

B — коэффициент вращательного трения

ω — угловая скорость

θ — угловое смещение