Анализ систем LTI с непрерывным временем может быть выполнен с использованием z-преобразований. Это мощный математический инструмент для преобразования дифференциальных уравнений в алгебраические уравнения.
Двустороннее (двухстороннее) z-преобразование сигнала дискретного времени x (n) задается как
$ ZT [x (n)] = X (Z) = \ Sigma_ {n = — \ infty} ^ {\ infty} x (n) z ^ {- n} $
Одностороннее (одностороннее) z-преобразование сигнала дискретного времени x (n) задается как
$ ZT [x (n)] = X (Z) = \ Sigma_ {n = 0} ^ {\ infty} x (n) z ^ {- n} $
Z-преобразование может существовать для некоторых сигналов, для которых дискретное временное преобразование Фурье (DTFT) не существует.
Концепция Z-преобразования и обратного Z-преобразования
Z-преобразование дискретного сигнала времени x (n) может быть представлено с помощью X (Z), и оно определяется как
$ X (Z) = \ Sigma_ {n = — \ infty} ^ {\ infty} x (n) z ^ {- n} \, … \, … \, (1) $
Если $ Z = re ^ {j \ omega} $, тогда уравнение 1 становится
$ X (re ^ {j \ omega}) = \ Sigma_ {n = — \ infty} ^ {\ infty} x (n) [re ^ {j \ omega}] ^ {- n} $
$ = \ Sigma_ {n = — \ infty} ^ {\ infty} x (n) [r ^ {- n}] e ^ {- j \ omega n} $
$ X (re ^ {j \ omega}) = X (Z) = FT [x (n) r ^ {- n}] \, … \, … \, (2) $
Вышеупомянутое уравнение представляет отношение между преобразованием Фурье и Z-преобразованием.
$ X (Z) | _ {z = e ^ {j \ omega}} = FT [x (n)]. $
Обратное Z-преобразование
$ X (re ^ {j \ omega}) = FT [x (n) r ^ {- n}] $
$ x (n) r ^ {- n} = FT ^ {- 1} [X (re ^ {j \ omega}]] $
$ x (n) = r ^ n \, FT ^ {- 1} [X (re ^ {j \ omega})]] $
$ = r ^ n {1 \ over 2 \ pi} \ int X (re {^ j \ omega}) e ^ {j \ omega n} d \ omega $
$ = {1 \ over 2 \ pi} \ int X (re {^ j \ omega}) [re ^ {j \ omega}] ^ nd \ omega \, … \, … \, (3) $
Замените $ re ^ {j \ omega} = z $.
$ dz = jre ^ {j \ omega} d \ omega = jz d \ omega $
$ d \ omega = {1 \ over j} z ^ {- 1} dz $
Подставим в уравнение 3.
$ 3 \, \ to \, x (n) = {1 \ over 2 \ pi} \ int \, X (z) z ^ n {1 \ over j} z ^ {- 1} dz = {1 \ over 2 \ pi j} \ int \, X (z) z ^ {n-1} dz $
$$ X (Z) = \ sum_ {n = — \ infty} ^ {\ infty} \, x (n) z ^ {- n} $$ $$ x (n) = {1 \ over 2 \ pi j } \ int \, X (z) z ^ {n-1} dz $$