Учебники

Классификация систем

Системы подразделяются на следующие категории:

  • Лайнер и Нелинейные Системы
  • Вариант времени и системы инварианта времени
  • Вариант линейного времени и инвариантные системы линейного времени
  • Статические и Динамические Системы
  • Причинные и не причинные системы
  • Обратимые и необратимые системы
  • Стабильные и нестабильные системы

Лайнер и Нелинейные Системы

Система называется линейной, если она удовлетворяет принципам суперпозиции и гомогената. Рассмотрим две системы с входами как x 1 (t), x 2 (t) и выходами как y 1 (t), y 2 (t) соответственно. Затем, в соответствии с принципами суперпозиции и гомогената,

    T [a 1 x 1 (t) + a 2 x 2 (t)] = a 1 T [x 1 (t)] + a 2 T [x 2 (t)]

     следовательно, T [a 1 x 1 (t) + a 2 x 2 (t)] = a 1 y 1 (t) + a 2 y 2 (t)

T [a 1 x 1 (t) + a 2 x 2 (t)] = a 1 T [x 1 (t)] + a 2 T [x 2 (t)]

 следовательно, T [a 1 x 1 (t) + a 2 x 2 (t)] = a 1 y 1 (t) + a 2 y 2 (t)

Из вышеприведенного выражения ясно, что реакция всей системы равна реакции отдельной системы.

Пример:

    (т) = х 2 (т)

    Решение:

      y 1 (t) = T [x 1 (t)] = x 1 2 (t)

      y 2 (t) = T [x 2 (t)] = x 2 2 (t)

      T [a 1 x 1 (t) + a 2 x 2 (t)] = [a 1 x 1 (t) + a 2 x 2 (t)] 2

(т) = х 2 (т)

Решение:

y 1 (t) = T [x 1 (t)] = x 1 2 (t)

y 2 (t) = T [x 2 (t)] = x 2 2 (t)

T [a 1 x 1 (t) + a 2 x 2 (t)] = [a 1 x 1 (t) + a 2 x 2 (t)] 2

Что не равно 1 y 1 (t) + a 2 y 2 (t). Следовательно, система называется нелинейной.

Вариант времени и системы инварианта времени

Система называется вариантом времени, если ее входные и выходные характеристики меняются со временем. В противном случае система рассматривается как инвариантная по времени.

Условие для системы, не зависящей от времени:

    y (n, t) = y (nt)

y (n, t) = y (nt)

Условие для временной системы:

    y (n, t)  neq y (nt)

y (n, t)  neq y (nt)

Где y (n, t) = T [x (nt)] = изменение ввода

    y (nt) = изменение выхода

y (nt) = изменение выхода

Пример:

    y (n) = x (-n)

    y (n, t) = T [x (nt)] = x (-nt)

    y (nt) = x (- (nt)) = x (-n + t)

     следовательно y (n, t) ≠ y (nt). Следовательно, система является вариантом времени.

y (n) = x (-n)

y (n, t) = T [x (nt)] = x (-nt)

y (nt) = x (- (nt)) = x (-n + t)

 следовательно y (n, t) ≠ y (nt). Следовательно, система является вариантом времени.

Системы линейного времени (LTV) и системы линейного времени (LTI)

Если система является как линейной, так и временной вариацией, то она называется системой временной вариации лайнера (LTV).

Если система является как линейной, так и временной инвариантной, то эта система называется системой линейной инвариантности (LTI).

Статические и Динамические Системы

Статическая система не требует памяти, тогда как динамическая система – это система памяти.

Пример 1: у (т) = 2 х (т)

Для текущего значения t = 0 выходной сигнал системы равен y (0) = 2x (0). Здесь вывод зависит только от текущего ввода. Следовательно, система меньше памяти или статична.

Пример 2: у (т) = 2 х (т) + 3 х (т-3)

Для текущего значения t = 0 выходной сигнал системы равен y (0) = 2x (0) + 3x (-3).

Здесь x (-3) является прошлым значением для текущего ввода, для которого системе требуется память, чтобы получить этот вывод. Следовательно, система является динамической системой.

Причинные и не причинные системы

Говорят, что система является причинно-следственной, если ее результаты зависят от текущих и прошлых данных и не зависят от будущих данных.

Для не причинной системы выход зависит также от будущих входных данных.

Пример 1: y (n) = 2 x (t) + 3 x (t-3)

Для текущего значения t = 1 выход системы составляет y (1) = 2x (1) + 3x (-2).

Здесь вывод системы зависит только от настоящих и прошлых входов. Следовательно, система является причинно-следственной.

Пример 2: y (n) = 2 x (t) + 3 x (t-3) + 6x (t + 3)

Для текущего значения t = 1 системный выход будет равен y (1) = 2x (1) + 3x (-2) + 6x (4). Здесь системный выход зависит от будущего ввода. Следовательно, система не является причинной системой.

Обратимые и Необратимые системы

Система называется обратимой, если на выходе появляется вход системы.

Обратимая система

    Y (S) = X (S) H1 (S) H2 (S)

    = X (S) H1 (S) · 1 over(H1(S)), поскольку H2 (S) = 1 / (H1 (S))

     следовательно, Y (S) = X (S)

     to y (t) = x (t)

Y (S) = X (S) H1 (S) H2 (S)

= X (S) H1 (S) · 1 over(H1(S)), поскольку H2 (S) = 1 / (H1 (S))

 следовательно, Y (S) = X (S)

 to y (t) = x (t)

Следовательно, система обратима.

Если y (t)  neq x (t), то система называется необратимой.

Стабильные и нестабильные системы

Система называется стабильной только тогда, когда выход ограничен для ограниченного входа. Для ограниченного входа, если выход не ограничен в системе, он называется нестабильным.

Примечание: для ограниченного сигнала амплитуда конечна.

Пример 1: у (т) = х 2 (т)

Пусть входом является u (t) (единичный шаг, ограниченный вход), тогда выход y (t) = u2 (t) = u (t) = ограниченный выход.

Следовательно, система стабильна.

Пример 2: y (t) =  intx(t)dt

Пусть входной сигнал u (t) (вход, ограниченный единичным шагом), тогда выходной y (t) =  intu(t)dt = сигнал линейного изменения (неограниченный, поскольку амплитуда линейного изменения не является конечной, он становится бесконечным, когда t  to бесконечно).

Следовательно, система нестабильна.