Системы подразделяются на следующие категории:
- Лайнер и Нелинейные Системы
- Вариант времени и системы инварианта времени
- Вариант линейного времени и инвариантные системы линейного времени
- Статические и Динамические Системы
- Причинные и не причинные системы
- Обратимые и необратимые системы
- Стабильные и нестабильные системы
Лайнер и Нелинейные Системы
Система называется линейной, если она удовлетворяет принципам суперпозиции и гомогената. Рассмотрим две системы с входами как x 1 (t), x 2 (t) и выходами как y 1 (t), y 2 (t) соответственно. Затем, в соответствии с принципами суперпозиции и гомогената,
T [a 1 x 1 (t) + a 2 x 2 (t)] = a 1 T [x 1 (t)] + a 2 T [x 2 (t)]
следовательно, T [a 1 x 1 (t) + a 2 x 2 (t)] = a 1 y 1 (t) + a 2 y 2 (t)
T [a 1 x 1 (t) + a 2 x 2 (t)] = a 1 T [x 1 (t)] + a 2 T [x 2 (t)]
следовательно, T [a 1 x 1 (t) + a 2 x 2 (t)] = a 1 y 1 (t) + a 2 y 2 (t)
Из вышеприведенного выражения ясно, что реакция всей системы равна реакции отдельной системы.
Пример:
(т) = х 2 (т)
Решение:
y 1 (t) = T [x 1 (t)] = x 1 2 (t)
y 2 (t) = T [x 2 (t)] = x 2 2 (t)
T [a 1 x 1 (t) + a 2 x 2 (t)] = [a 1 x 1 (t) + a 2 x 2 (t)] 2
(т) = х 2 (т)
Решение:
y 1 (t) = T [x 1 (t)] = x 1 2 (t)
y 2 (t) = T [x 2 (t)] = x 2 2 (t)
T [a 1 x 1 (t) + a 2 x 2 (t)] = [a 1 x 1 (t) + a 2 x 2 (t)] 2
Что не равно 1 y 1 (t) + a 2 y 2 (t). Следовательно, система называется нелинейной.
Вариант времени и системы инварианта времени
Система называется вариантом времени, если ее входные и выходные характеристики меняются со временем. В противном случае система рассматривается как инвариантная по времени.
Условие для системы, не зависящей от времени:
y (n, t) = y (nt)
y (n, t) = y (nt)
Условие для временной системы:
y (n, t) neq y (nt)
y (n, t) neq y (nt)
Где y (n, t) = T [x (nt)] = изменение ввода
y (nt) = изменение выхода
y (nt) = изменение выхода
Пример:
y (n) = x (-n)
y (n, t) = T [x (nt)] = x (-nt)
y (nt) = x (- (nt)) = x (-n + t)
следовательно y (n, t) ≠ y (nt). Следовательно, система является вариантом времени.
y (n) = x (-n)
y (n, t) = T [x (nt)] = x (-nt)
y (nt) = x (- (nt)) = x (-n + t)
следовательно y (n, t) ≠ y (nt). Следовательно, система является вариантом времени.
Системы линейного времени (LTV) и системы линейного времени (LTI)
Если система является как линейной, так и временной вариацией, то она называется системой временной вариации лайнера (LTV).
Если система является как линейной, так и временной инвариантной, то эта система называется системой линейной инвариантности (LTI).
Статические и Динамические Системы
Статическая система не требует памяти, тогда как динамическая система — это система памяти.
Пример 1: у (т) = 2 х (т)
Для текущего значения t = 0 выходной сигнал системы равен y (0) = 2x (0). Здесь вывод зависит только от текущего ввода. Следовательно, система меньше памяти или статична.
Пример 2: у (т) = 2 х (т) + 3 х (т-3)
Для текущего значения t = 0 выходной сигнал системы равен y (0) = 2x (0) + 3x (-3).
Здесь x (-3) является прошлым значением для текущего ввода, для которого системе требуется память, чтобы получить этот вывод. Следовательно, система является динамической системой.
Причинные и не причинные системы
Говорят, что система является причинно-следственной, если ее результаты зависят от текущих и прошлых данных и не зависят от будущих данных.
Для не причинной системы выход зависит также от будущих входных данных.
Пример 1: y (n) = 2 x (t) + 3 x (t-3)
Для текущего значения t = 1 выход системы составляет y (1) = 2x (1) + 3x (-2).
Здесь вывод системы зависит только от настоящих и прошлых входов. Следовательно, система является причинно-следственной.
Пример 2: y (n) = 2 x (t) + 3 x (t-3) + 6x (t + 3)
Для текущего значения t = 1 системный выход будет равен y (1) = 2x (1) + 3x (-2) + 6x (4). Здесь системный выход зависит от будущего ввода. Следовательно, система не является причинной системой.
Обратимые и Необратимые системы
Система называется обратимой, если на выходе появляется вход системы.
Y (S) = X (S) H1 (S) H2 (S)
= X (S) H1 (S) · 1 over(H1(S)), поскольку H2 (S) = 1 / (H1 (S))
следовательно, Y (S) = X (S)
to y (t) = x (t)
Y (S) = X (S) H1 (S) H2 (S)
= X (S) H1 (S) · 1 over(H1(S)), поскольку H2 (S) = 1 / (H1 (S))
следовательно, Y (S) = X (S)
to y (t) = x (t)
Следовательно, система обратима.
Если y (t) neq x (t), то система называется необратимой.
Стабильные и нестабильные системы
Система называется стабильной только тогда, когда выход ограничен для ограниченного входа. Для ограниченного входа, если выход не ограничен в системе, он называется нестабильным.
Примечание: для ограниченного сигнала амплитуда конечна.
Пример 1: у (т) = х 2 (т)
Пусть входом является u (t) (единичный шаг, ограниченный вход), тогда выход y (t) = u2 (t) = u (t) = ограниченный выход.
Следовательно, система стабильна.
Пример 2: y (t) = intx(t)dt
Пусть входной сигнал u (t) (вход, ограниченный единичным шагом), тогда выходной y (t) = intu(t)dt = сигнал линейного изменения (неограниченный, поскольку амплитуда линейного изменения не является конечной, он становится бесконечным, когда t to бесконечно).
Следовательно, система нестабильна.