Анализ сигналов

Существует идеальная аналогия между векторами и сигналами.

Вектор

Вектор содержит величину и направление. Название вектора обозначается жирным шрифтом, а его величина — светлым.

Пример: V — вектор с величиной V. Рассмотрим два вектора V ₁ и V _2, как показано на следующей диаграмме. Пусть составляющая V ₁ наряду с V ₂ задается C ₁₂ V ₂ . Компонент вектора V ₁ вместе с вектором V ₂ можно получить, взяв перпендикуляр от конца V ₁ к вектору V _2, как показано на диаграмме:

Вектор V ₁ можно выразить через вектор V _2.

V ₁ = C ₁₂ V ₂ + V _e

Где Ve — вектор ошибки.

V ₁ = C ₁₂ V ₂ + V _e

Где Ve — вектор ошибки.

Но это не единственный способ выразить вектор V ₁ через V ₂ . Альтернативные возможности:

V ₁ = C ₁ V ₂ + V _e1

V ₂ = C ₂ V ₂ + V _e2

Сигнал ошибки является минимальным для большого значения компонента. Если C ₁₂ = 0, то два сигнала называются ортогональными.

Точечный продукт двух векторов

V ₁ . V ₂ = V ₁ .V ₂ cosθ

θ = угол между V1 и V2

V ₁ . V ₂ = V ₂ .V ₁

Компоненты V ₁ alog _n V ₂ = V ₁ Cos θ = $V1.V2 \ over V2$

V ₁ . V ₂ = V ₁ .V ₂ cosθ

θ = угол между V1 и V2

V ₁ . V ₂ = V ₂ .V ₁

Компоненты V ₁ alog _n V ₂ = V ₁ Cos θ = $V1.V2 \ over V2$

Из диаграммы составляющие V ₁ alog _n V ₂ = C ₁₂ V ₂

V1.V2 overV2=C12V2 $$V_1.V_2 \ over V_2 = C_12 \, V_2$$

$$\ Rightarrow C_ {12} = {V_1.V_2 \ over V_2}$$

Сигнал

Понятие ортогональности может быть применено к сигналам. Рассмотрим два сигнала f ₁ (t) и f ₂ (t). Подобно векторам, вы можете аппроксимировать f ₁ (t) в терминах f ₂ (t) как

f ₁ (t) = C ₁₂ f ₂ (t) + f _e (t) для (t ₁ <t <t ₂ )

$\ Rightarrow$ f _e (t) = f ₁ (t) — C ₁₂ f ₂ (t)

f ₁ (t) = C ₁₂ f ₂ (t) + f _e (t) для (t ₁ <t <t ₂ )

$\ Rightarrow$ f _e (t) = f ₁ (t) — C ₁₂ f ₂ (t)

Одним из возможных способов минимизации ошибки является интегрирование в интервале от t ₁ до t ₂ .

$${1 \ over {t_2 - t_1}} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_e (t)] dt$$

$${1 \ over {t_2 - t_1}} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_1 (t) - C_ {12} f_2 (t)] dt$$

Однако этот шаг также не уменьшает ошибку в значительной степени. Это можно исправить, взяв квадрат функции ошибки.

$\ varepsilon = {1 \ over {t_2 - t_1}} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_e (t)] ^ 2 dt$

$\ Rightarrow {1 \ over {t_2 - t_1}} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_e (t) - C_ {12} f_2] ^ 2 dt$

Где ε — среднеквадратичное значение сигнала ошибки. Значение C _12, которое минимизирует ошибку, необходимо рассчитать ${d \ varepsilon \ over dC_ {12}} = 0$

$\ Rightarrow {d \ over dC_ {12}} [{1 \ over t_2 - t_1} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_1 (t) - C_ {12} f_2 (t)] ^ 2 dt] = 0$

$\ Rightarrow {1 \ over {t_2 - t_1}} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [{d \ over dC_ {12}} f_ {1} ^ 2 (t) - {d \ over dC_ {12} } 2f_1 (t) C_ {12} f_2 (t) + {d \ over dC_ {12}} f_ {2} ^ {2} (t) C_ {12} ^ 2] dt = 0$

Производные от терминов, которые не имеют C12, равны нулю.

$\ Rightarrow \ int_ {t_1} ^ {t_2} - 2f_1 (t) f_2 (t) dt + 2C_ {12} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_ {2} ^ {2} (t)] dt = 0$

Если $C_ {12} = {{\ int_ {t_1} ^ {t_2} f_1 (t) f_2 (t) dt} \ over {\ int_ {t_1} ^ {t_2} f_ {2} ^ {2} (t ) dt}}$ компонент равен нулю, тогда два сигнала называются ортогональными.

Положите C ₁₂ = 0, чтобы получить условие ортогональности.

0 = ${{\ int_ {t_1} ^ {t_2} f_1 (t) f_2 (t) dt} \ over {\ int_ {t_1} ^ {t_2} f_ {2} ^ {2} (t) dt}}$

$$\ int_ {t_1} ^ {t_2} f_1 (t) f_2 (t) dt = 0$$

Ортогональное векторное пространство

Полный набор ортогональных векторов называется ортогональным векторным пространством. Рассмотрим трехмерное векторное пространство, как показано ниже:

Рассмотрим вектор A в точке (X ₁ , Y ₁ , Z ₁ ). Рассмотрим три единичных вектора (V _X , V _Y , V _Z ) в направлении оси X, Y, Z соответственно. Поскольку эти единичные векторы взаимно ортогональны, он удовлетворяет

$$ V_X. V_X = V_Y. V_Y = V_Z. V_Z = 1 $$

$$ V_X. V_Y = V_Y. V_Z = V_Z. V_X = 0 $$

Вы можете написать выше условия как

$$ V_a. V_b = \ left \ {\ begin {array} {ll} 1 & \ quad a = b \\ 0 & \ quad a \ neq b \ end {array} \ right. $$

Вектор A может быть представлен в терминах его компонентов и единичных векторов как

$A = X_1 V_X + Y_1 V_Y + Z_1 V_Z ................ (1)$

Любые векторы в этом трехмерном пространстве могут быть представлены только через эти три единичных вектора.

Если вы рассматриваете n-мерное пространство, то любой вектор A в этом пространстве можно представить как

$A = X_1 V_X + Y_1 V_Y + Z_1 V_Z + ... + N_1V_N ..... (2)$

Поскольку величина единичных векторов равна единице для любого вектора A

Компонент А вдоль оси х = AV _X

Компонента А вдоль оси Y = AV _Y

Компонента А вдоль оси Z = AV _Z

Аналогично, для n-мерного пространства компонента A вдоль некоторой оси G

$= A.VG ............... (3)$

Подставьте уравнение 2 в уравнение 3.

$\ Rightarrow CG = (X_1 V_X + Y_1 V_Y + Z_1 V_Z + ... + G_1 V_G ... + N_1V_N) V_G$

$= X_1 V_X V_G + Y_1 V_Y V_G + Z_1 V_Z V_G + ... + G_1V_G V_G ... + N_1V_N V_G$

$= G_1 \, \, \, \, \, \ text {since} V_G V_G = 1$

$If V_G V_G \ neq 1 \, \, \ text {т.е.} V_G V_G = k$

$AV_G = G_1V_G V_G = G_1K$

$G_1 = {(AV_G) \ over K}$

Ортогональное пространство сигнала

Рассмотрим набор из n взаимно ортогональных функций x ₁ (t), x ₂ (t) … x _n (t) на интервале от t ₁ до t ₂ . Поскольку эти функции ортогональны друг другу, любые два сигнала x _j (t), x _k (t) должны удовлетворять условию ортогональности. т.е.

$$\ int_ {t_1} ^ {t_2} x_j (t) x_k (t) dt = 0 \, \, \, \ text {where} \, j \ neq k$$

$$\ text {Let} \ int_ {t_1} ^ {t_2} x_ {k} ^ {2} (t) dt = k_k$$

Пусть функция f (t) может быть аппроксимирована этим пространством ортогональных сигналов путем сложения компонентов вдоль взаимно ортогональных сигналов, т.е.

$\, \, \, f (t) = C_1x_1 (t) + C_2x_2 (t) + ... + C_nx_n (t) + f_e (t)$

$\ quad \ quad = \ Sigma_ {r = 1} ^ {n} C_rx_r (t)$

$\, \, \, f (t) = f (t) - \ Sigma_ {r = 1} ^ n C_rx_r (t)$

$\, \, \, f (t) = C_1x_1 (t) + C_2x_2 (t) + ... + C_nx_n (t) + f_e (t)$

$\ quad \ quad = \ Sigma_ {r = 1} ^ {n} C_rx_r (t)$

$\, \, \, f (t) = f (t) - \ Sigma_ {r = 1} ^ n C_rx_r (t)$

Средняя квадратура ошибки $\ varepsilon = {1 \ over t_2 - t_2} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_e (t)] ^ 2 dt$

$$= {1 \ over t_2 - t_2} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f [t] - \ sum_ {r = 1} ^ {n} C_rx_r (t)] ^ 2 dt$$

Компонент, который минимизирует среднеквадратичную ошибку, может быть найден

$${d \ varepsilon \ over dC_1} = {d \ varepsilon \ over dC_2} = ... = {d \ varepsilon \ over dC_k} = 0$$

Рассмотрим ${d \ varepsilon \ over dC_k} = 0$

$${d \ over dC_k} [{1 \ over t_2 - t_1} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f (t) - \ Sigma_ {r = 1} ^ n C_rx_r (t)] ^ 2 dt] = 0$$

Все члены, которые не содержат C _k , равны нулю. т.е. в сумме, r = k терм остается, а все остальные термы равны нулю.

$$\ int_ {t_1} ^ {t_2} - 2 f (t) x_k (t) dt + 2C_k \ int_ {t_1} ^ {t_2} [x_k ^ 2 (t)] dt = 0$$

$$\ Rightarrow C_k = {{\ int_ {t_1} ^ {t_2} f (t) x_k (t) dt} \ over {int_ {t_1} ^ {t_2} x_k ^ 2 (t) dt}}$$

$$\ Rightarrow \ int_ {t_1} ^ {t_2} f (t) x_k (t) dt = C_kK_k$$

Средняя квадратическая ошибка

Среднее квадрата ошибки функция f _e (t) называется среднеквадратичной ошибкой. Обозначается через ε (эпсилон).

,

$\ varepsilon = {1 \ over t_2 - t_1} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_e (t)] ^ 2dt$

$\, \, \, \, = {1 \ over t_2 - t_1} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_e (t) - \ Sigma_ {r = 1} ^ n C_rx_r (t)] ^ 2 дт$

$\, \, \, \, = {1 \ over t_2 - t_1} [\ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_e ^ 2 (t)] dt + \ Sigma_ {r = 1} ^ {n} C_r ^ 2 \ int_ {t_1} ^ {t_2} x_r ^ 2 (t) dt - 2 \ Sigma_ {r = 1} ^ {n} C_r \ int_ {t_1} ^ {t_2} x_r (t) f (t) dt$

Вы знаете, что $C_ {r} ^ {2} \ int_ {t_1} ^ {t_2} x_r ^ 2 (t) dt = C_r \ int_ {t_1} ^ {t_2} x_r (t) f (d) dt = C_r ^ 2 К_р$

$\ varepsilon = {1 \ over t_2 - t_1} [\ int_ {t_1} ^ {t_2} [f ^ 2 (t)] dt + \ Sigma_ {r = 1} ^ {n} C_r ^ 2 K_r - 2 \ Sigma_ {r = 1} ^ {n} C_r ^ 2 K_r]$

$\, \, \, \, = {1 \ over t_2 - t_1} [\ int_ {t_1} ^ {t_2} [f ^ 2 (t)] dt - \ Sigma_ {r = 1} ^ {n} C_r ^ 2 K_r]$

$\, \ следовательно \ varepsilon = {1 \ over t_2 - t_1} [\ int_ {t_1} ^ {t_2} [f ^ 2 (t)] dt + (C_1 ^ 2 K_1 + C_2 ^ 2 K_2 + ... + C_n ^ 2 K_n)]$

Приведенное выше уравнение используется для оценки среднеквадратичной ошибки.

Закрытый и полный набор ортогональных функций

Рассмотрим набор из n взаимно ортогональных функций x ₁ (t), x ₂ (t) … x _n (t) на интервале от t ₁ до t ₂ . Это называется замкнутым и полным набором, когда не существует функции f (t), удовлетворяющей условию $\ int_ {t_1} ^ {t_2} f (t) x_k (t) dt = 0$

Если эта функция удовлетворяет уравнению $\ int_ {t_1} ^ {t_2} f (t) x_k (t) dt = 0 \, \, \ text {for} \, k = 1,2, ..$, то f (t) называется ортогональным к каждой функции ортогонального множества. Это множество неполное без f (t). Это становится закрытым и полным набором, когда f (t) включен.

f (t) может быть аппроксимирован этим ортогональным набором путем сложения компонентов вдоль взаимно ортогональных сигналов, т.е.

$$f (t) = C_1 x_1 (t) + C_2 x_2 (t) + ... + C_n x_n (t) + f_e (t)$$

Если бесконечный ряд $C_1 x_1 (t) + C_2 x_2 (t) + ... + C_n x_n (t)$ сходится к f (t), то среднеквадратичная ошибка равна нулю.

Ортогональность в сложных функциях

Если f ₁ (t) и f ₂ (t) являются двумя комплексными функциями, то f ₁ (t) можно выразить через f ₂ (t) как

$f_1 (t) = C_ {12} f_2 (t) \, \, \, \, \, \, \, \,$ ..с незначительной ошибкой

Где $C_ {12} = {{\ int_ {t_1} ^ {t_2} f_1 (t) f_2 ^ * (t) dt} \ over {\ int_ {t_1} ^ {t_2} | f_2 (t) | ^ 2 dt}}$

Где $f_2 ^ * (t)$ = комплексное сопряжение f ₂ (t).

Если f ₁ (t) и f ₂ (t) ортогональны, то C ₁₂ = 0

$${\ int_ {t_1} ^ {t_2} f_1 (t) f_2 ^ * (t) dt \ over \ int_ {t_1} ^ {t_2} | f_2 (t) | ^ 2 dt} = 0$$

$$\ Rightarrow \ int_ {t_1} ^ {t_2} f_1 (t) f_2 ^ * (dt) = 0$$

Приведенное выше уравнение представляет условие ортогональности в комплексных функциях.