Учебники

Анализ сигналов

Существует идеальная аналогия между векторами и сигналами.

Вектор

Вектор содержит величину и направление. Название вектора обозначается жирным шрифтом, а его величина – светлым.

Пример: V – вектор с величиной V. Рассмотрим два вектора V 1 и V 2, как показано на следующей диаграмме. Пусть составляющая V 1 наряду с V 2 задается C 12 V 2 . Компонент вектора V 1 вместе с вектором V 2 можно получить, взяв перпендикуляр от конца V 1 к вектору V 2, как показано на диаграмме:

векторы

Вектор V 1 можно выразить через вектор V 2.

    V 1 = C 12 V 2 + V e

    Где Ve – вектор ошибки.

V 1 = C 12 V 2 + V e

Где Ve – вектор ошибки.

Но это не единственный способ выразить вектор V 1 через V 2 . Альтернативные возможности:

V 1 = C 1 V 2 + V e1

V 1 = C 1 V 2 + V e1

V 2 = C 2 V 2 + V e2

V 2 = C 2 V 2 + V e2

Сигнал ошибки является минимальным для большого значения компонента. Если C 12 = 0, то два сигнала называются ортогональными.

Точечный продукт двух векторов

    V 1 . V 2 = V 1 .V 2 cosθ

      θ = угол между V1 и V2

    V 1 . V 2 = V 2 .V 1

    Компоненты V 1 alog n V 2 = V 1 Cos θ = V1.V2 overV2

V 1 . V 2 = V 1 .V 2 cosθ

θ = угол между V1 и V2

V 1 . V 2 = V 2 .V 1

Компоненты V 1 alog n V 2 = V 1 Cos θ = V1.V2 overV2

Из диаграммы составляющие V 1 alog n V 2 = C 12 V 2

V1.V2 overV2=C12V2

 RightarrowC12=V1.V2 overV2

Сигнал

Понятие ортогональности может быть применено к сигналам. Рассмотрим два сигнала f 1 (t) и f 2 (t). Подобно векторам, вы можете аппроксимировать f 1 (t) в терминах f 2 (t) как

    f 1 (t) = C 12 f 2 (t) + f e (t) для (t 1 <t <t 2 )

     Rightarrow f e (t) = f 1 (t) – C 12 f 2 (t)

f 1 (t) = C 12 f 2 (t) + f e (t) для (t 1 <t <t 2 )

 Rightarrow f e (t) = f 1 (t) – C 12 f 2 (t)

Одним из возможных способов минимизации ошибки является интегрирование в интервале от t 1 до t 2 .

1 overt2t1 intt2t1[fe(t)]dt

1 overt2t1 intt2t1[f1(t)C12f2(t)]dt

Однако этот шаг также не уменьшает ошибку в значительной степени. Это можно исправить, взяв квадрат функции ошибки.

 varepsilon=1 overt2t1 intt2t1[fe(t)]2dt

 Rightarrow1 overt2t1 intt2t1[fe(t)C12f2]2dt

Где ε – среднеквадратичное значение сигнала ошибки. Значение C 12, которое минимизирует ошибку, необходимо рассчитать d varepsilon overdC12=0

 Rightarrowd overdC12[1 overt2t1 intt2t1[f1(t)C12f2(t)]2dt]=0

 Rightarrow1 overt2t1 intt2t1[d overdC12f21(t)d overdC122f1(t)C12f2(t)+d overdC12f22(t)C212]dt=0

Производные от терминов, которые не имеют C12, равны нулю.

 Rightarrow intt2t12f1(t)f2(t)dt+2C12 intt2t1[f22(t)]dt=0

Если C12= intt2t1f1(t)f2(t)dt over intt2t1f22(t)dt компонент равен нулю, тогда два сигнала называются ортогональными.

Положите C 12 = 0, чтобы получить условие ортогональности.

0 =  intt2t1f1(t)f2(t)dt over intt2t1f22(t)dt

 intt2t1f1(t)f2(t)dt=0

Ортогональное векторное пространство

Полный набор ортогональных векторов называется ортогональным векторным пространством. Рассмотрим трехмерное векторное пространство, как показано ниже:

Рассмотрим вектор A в точке (X 1 , Y 1 , Z 1 ). Рассмотрим три единичных вектора (V X , V Y , V Z ) в направлении оси X, Y, Z соответственно. Поскольку эти единичные векторы взаимно ортогональны, он удовлетворяет

$$ V_X. V_X = V_Y. V_Y = V_Z. V_Z = 1 $$

$$ V_X. V_Y = V_Y. V_Z = V_Z. V_X = 0 $$

Вы можете написать выше условия как

$$ V_a. V_b = \ left \ {\ begin {array} {ll} 1 & \ quad a = b \\ 0 & \ quad a \ neq b \ end {array} \ right. $$

Вектор A может быть представлен в терминах его компонентов и единичных векторов как

A=X1VX+Y1VY+Z1VZ................(1)

Любые векторы в этом трехмерном пространстве могут быть представлены только через эти три единичных вектора.

Если вы рассматриваете n-мерное пространство, то любой вектор A в этом пространстве можно представить как

A=X1VX+Y1VY+Z1VZ+...+N1VN.....(2)

Поскольку величина единичных векторов равна единице для любого вектора A

Компонент А вдоль оси х = AV X

Компонента А вдоль оси Y = AV Y

Компонента А вдоль оси Z = AV Z

Аналогично, для n-мерного пространства компонента A вдоль некоторой оси G

=A.VG...............(3)

Подставьте уравнение 2 в уравнение 3.

 RightarrowCG=(X1VX+Y1VY+Z1VZ+...+G1VG...+N1VN)VG

= X_1 V_X V_G + Y_1 V_Y V_G + Z_1 V_Z V_G + … + G_1V_G V_G … + N_1V_N V_G

= G_1 \, \, \, \, \, \ text {since} V_G V_G = 1

If V_G V_G \ neq 1 \, \, \ text {т.е.} V_G V_G = k

AV_G = G_1V_G V_G = G_1K

G_1 = {(AV_G) \ over K}

Ортогональное пространство сигнала

Рассмотрим набор из n взаимно ортогональных функций x 1 (t), x 2 (t) … x n (t) на интервале от t 1 до t 2 . Поскольку эти функции ортогональны друг другу, любые два сигнала x j (t), x k (t) должны удовлетворять условию ортогональности. т.е.

\ int_ {t_1} ^ {t_2} x_j (t) x_k (t) dt = 0 \, \, \, \ text {where} \, j \ neq k

\ text {Let} \ int_ {t_1} ^ {t_2} x_ {k} ^ {2} (t) dt = k_k

Пусть функция f (t) может быть аппроксимирована этим пространством ортогональных сигналов путем сложения компонентов вдоль взаимно ортогональных сигналов, т.е.

    \, \, \, f (t) = C_1x_1 (t) + C_2x_2 (t) + … + C_nx_n (t) + f_e (t)

    \ quad \ quad = \ Sigma_ {r = 1} ^ {n} C_rx_r (t)

    \, \, \, f (t) = f (t) – \ Sigma_ {r = 1} ^ n C_rx_r (t)

\, \, \, f (t) = C_1x_1 (t) + C_2x_2 (t) + … + C_nx_n (t) + f_e (t)

\ quad \ quad = \ Sigma_ {r = 1} ^ {n} C_rx_r (t)

\, \, \, f (t) = f (t) – \ Sigma_ {r = 1} ^ n C_rx_r (t)

Средняя квадратура ошибки \ varepsilon = {1 \ over t_2 – t_2} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_e (t)] ^ 2 dt

= {1 \ over t_2 – t_2} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f [t] – \ sum_ {r = 1} ^ {n} C_rx_r (t)] ^ 2 dt

Компонент, который минимизирует среднеквадратичную ошибку, может быть найден

{d \ varepsilon \ over dC_1} = {d \ varepsilon \ over dC_2} = … = {d \ varepsilon \ over dC_k} = 0

Рассмотрим {d \ varepsilon \ over dC_k} = 0

{d \ over dC_k} [{1 \ over t_2 – t_1} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f (t) – \ Sigma_ {r = 1} ^ n C_rx_r (t)] ^ 2 dt] = 0

Все члены, которые не содержат C k , равны нулю. т.е. в сумме, r = k терм остается, а все остальные термы равны нулю.

\ int_ {t_1} ^ {t_2} – 2 f (t) x_k (t) dt + 2C_k \ int_ {t_1} ^ {t_2} [x_k ^ 2 (t)] dt = 0

\ Rightarrow C_k = {{\ int_ {t_1} ^ {t_2} f (t) x_k (t) dt} \ over {int_ {t_1} ^ {t_2} x_k ^ 2 (t) dt}}

\ Rightarrow \ int_ {t_1} ^ {t_2} f (t) x_k (t) dt = C_kK_k

Средняя квадратическая ошибка

Среднее квадрата ошибки функция f e (t) называется среднеквадратичной ошибкой. Обозначается через ε (эпсилон).

,

\ varepsilon = {1 \ over t_2 – t_1} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_e (t)] ^ 2dt

\, \, \, \, = {1 \ over t_2 – t_1} \ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_e (t) – \ Sigma_ {r = 1} ^ n C_rx_r (t)] ^ 2 дт

\, \, \, \, = {1 \ over t_2 – t_1} [\ int_ {t_1} ^ {t_2} [f_e ^ 2 (t)] dt + \ Sigma_ {r = 1} ^ {n} C_r ^ 2 \ int_ {t_1} ^ {t_2} x_r ^ 2 (t) dt – 2 \ Sigma_ {r = 1} ^ {n} C_r \ int_ {t_1} ^ {t_2} x_r (t) f (t) dt

Вы знаете, что C_ {r} ^ {2} \ int_ {t_1} ^ {t_2} x_r ^ 2 (t) dt = C_r \ int_ {t_1} ^ {t_2} x_r (t) f (d) dt = C_r ^ 2 К_р

\ varepsilon = {1 \ over t_2 – t_1} [\ int_ {t_1} ^ {t_2} [f ^ 2 (t)] dt + \ Sigma_ {r = 1} ^ {n} C_r ^ 2 K_r – 2 \ Sigma_ {r = 1} ^ {n} C_r ^ 2 K_r]

\, \, \, \, = {1 \ over t_2 – t_1} [\ int_ {t_1} ^ {t_2} [f ^ 2 (t)] dt – \ Sigma_ {r = 1} ^ {n} C_r ^ 2 K_r]

\, \ следовательно \ varepsilon = {1 \ over t_2 – t_1} [\ int_ {t_1} ^ {t_2} [f ^ 2 (t)] dt + (C_1 ^ 2 K_1 + C_2 ^ 2 K_2 + … + C_n ^ 2 K_n)]

Приведенное выше уравнение используется для оценки среднеквадратичной ошибки.

Закрытый и полный набор ортогональных функций

Рассмотрим набор из n взаимно ортогональных функций x 1 (t), x 2 (t) … x n (t) на интервале от t 1 до t 2 . Это называется замкнутым и полным набором, когда не существует функции f (t), удовлетворяющей условию \ int_ {t_1} ^ {t_2} f (t) x_k (t) dt = 0

Если эта функция удовлетворяет уравнению \ int_ {t_1} ^ {t_2} f (t) x_k (t) dt = 0 \, \, \ text {for} \, k = 1,2, .. , то f (t) называется ортогональным к каждой функции ортогонального множества. Это множество неполное без f (t). Это становится закрытым и полным набором, когда f (t) включен.

f (t) может быть аппроксимирован этим ортогональным набором путем сложения компонентов вдоль взаимно ортогональных сигналов, т.е.

f (t) = C_1 x_1 (t) + C_2 x_2 (t) + … + C_n x_n (t) + f_e (t)

Если бесконечный ряд C_1 x_1 (t) + C_2 x_2 (t) + … + C_n x_n (t) сходится к f (t), то среднеквадратичная ошибка равна нулю.

Ортогональность в сложных функциях

Если f 1 (t) и f 2 (t) являются двумя комплексными функциями, то f 1 (t) можно выразить через f 2 (t) как

f_1 (t) = C_ {12} f_2 (t) \, \, \, \, \, \, \, \, ..с незначительной ошибкой

Где C_ {12} = {{\ int_ {t_1} ^ {t_2} f_1 (t) f_2 ^ * (t) dt} \ over {\ int_ {t_1} ^ {t_2} | f_2 (t) | ^ 2 dt}}

Где f_2 ^ * (t) = комплексное сопряжение f 2 (t).

Если f 1 (t) и f 2 (t) ортогональны, то C 12 = 0

{\ int_ {t_1} ^ {t_2} f_1 (t) f_2 ^ * (t) dt \ over \ int_ {t_1} ^ {t_2} | f_2 (t) | ^ 2 dt} = 0

\ Rightarrow \ int_ {t_1} ^ {t_2} f_1 (t) f_2 ^ * (dt) = 0

Приведенное выше уравнение представляет условие ортогональности в комплексных функциях.