Свойства преобразования Фурье

Вот свойства преобразования Фурье:

Свойство линейности

 textIfx(t) stackrel mathrmFT longleftrightarrowX( omega)$\ text {If} \, \, x (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X (\ omega)$

$\ text {&} \, \, y (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} Y (\ omega)$

Тогда свойство линейности утверждает, что

$ax (t) + by (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} a X (\ omega) + b Y (\ omega)$

Time Shifting Свойство

 textIfx(t) stackrel mathrmFT longleftrightarrowX( omega)$\ text {If} \, x (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X (\ omega)$

Тогда свойство сдвига во времени утверждает, что

$x (t-t_0) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} e ^ {- j \ omega t_0} X (\ omega)$

Свойство сдвига частоты

 textIfx(t) stackrel mathrmFT longleftrightarrowX( omega)$\ text {If} \, \, x (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X (\ omega)$

Тогда свойство сдвига частоты утверждает, что

$ e ^ {j \ omega_0 t}. x (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X (\ omega — \ omega_0) $

Свойство Обратного Времени

 textIfx(t) stackrel mathrmFT longleftrightarrowX( omega)$\ text {If} \, \, x (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X (\ omega)$

Тогда свойство обращения времени утверждает, что

$x (-t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X (- \ omega)$

Свойство масштабирования времени

 textIfx(t) stackrel mathrmFT longleftrightarrowX( omega)$\ text {If} \, \, x (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X (\ omega)$

Тогда свойство Time Scaling утверждает, что

x(at)1 over|a|X omega overa$x (at) {1 \ over | \, a \, |} X {\ omega \ over a}$

Дифференцирующие и интеграционные свойства

Ifx(t) stackrel mathrmFT longleftrightarrowX( omega)$If \, \, x (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X (\ omega)$

Тогда свойство дифференцирования утверждает, что

$ {dx (t) \ over dt} \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} j \ omega. X (\ Omega) $

$ {d ^ nx (t) \ over dt ^ n} \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} (j \ omega) ^ n. X (\ omega) $

и свойство интеграции утверждает, что

 intx(t)dt stackrel mathrmFT longleftrightarrow1 overj omegaX( omega)$\ int x (t) \, dt \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} {1 \ over j \ omega} X (\ omega)$

 iiint... intx(t)dt stackrel mathrmFT longleftrightarrow1 over(j omega)nX( omega)$\ iiint ... \ int x (t) \, dt \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} {1 \ over (j \ omega) ^ n} X (\ omega)$

Свойства умножения и свертки

 textIfx(t) stackrel mathrmFT longleftrightarrowX( omega)$\ text {If} \, \, x (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X (\ omega)$

$\ text {&} \, \, y (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} Y (\ omega)$

Тогда свойство умножения утверждает, что

$ х (т). y (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} X (\ omega) * Y (\ omega) $

и свойство свертки утверждает, что

$x (t) * y (t) \ stackrel {\ mathrm {FT}} {\ longleftrightarrow} {1 \ over 2 \ pi} X (\ omega) .Y (\ omega)$