Учебники

Серия Фурье

Жан-Батист Жозеф Фурье, французский математик и физик; родился в Осере, Франция. Он инициализировал ряды Фурье, преобразования Фурье и их приложения к задачам теплообмена и колебаний. Ряд Фурье, преобразования Фурье и Закон Фурье названы в его честь.

Жан Батист Жозеф Фурье (21 марта 1768 – 16 мая 1830)

Ряд Фурье

Чтобы представить любой периодический сигнал x (t), Фурье разработал выражение под названием ряд Фурье. Это в терминах бесконечной суммы синусов и косинусов или экспонент. Ряд Фурье использует условие ортогональности.

Представление рядов Фурье непрерывных периодических сигналов времени

Сигнал называется периодическим, если он удовлетворяет условию x (t) = x (t + T) или x (n) = x (n + N).

Где T = фундаментальный период времени,

    ω 0 = основная частота = 2π / T

ω 0 = основная частота = 2π / T

Есть два основных периодических сигнала:

x(t)= cos omega0t (синусоидальный) &

x(t)=ej omega0t (комплексная экспонента)

Эти два сигнала являются периодическими с периодом T=2 pi/ omega0.

Набор гармонически связанных комплексных экспонент может быть представлен как { phik(t)}

{\ phi_k (t)} = \ {e ^ {jk \ omega_0t} \} = \ {e ^ {jk ({2 \ pi \ over T}) t} \} \ text {where} \, k = 0 \ pm 1, \ pm 2 ..n \, \, \, ….. (1)

Все эти сигналы являются периодическими с периодом T

Согласно аппроксимации ортогонального сигнального пространства функции x (t) с n, взаимно ортогональные функции определяются как

x(t)= sum inftyk= inftyakejk omega0t.....(2)

= sum inftyk= inftyakkejk omega0t

Где ak = коэффициент Фурье = коэффициент приближения.

Этот сигнал x (t) также является периодическим с периодом T.

Уравнение 2 представляет представление ряда Фурье периодического сигнала x (t).

Член k = 0 является постоянным.

Член k= pm1, имеющий основную частоту  omega0, называется 1- й гармоникой.

Член k= pm2, имеющий основную частоту 2 omega0, называется 2- й гармоникой и т. Д.

Член k=±n, имеющий фундаментальную частоту n omega0, называется n- й гармоникой.

Вывод коэффициента Фурье

Мы знаем, что x(t)= Sigma inftyk= inftyakejk omega0t......(1)

Умножьте ejn omega0t с обеих сторон. затем

$$ x (t) e ^ {- jn \ omega_0 t} = \ sum_ {k = – \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {jk \ omega_0 t}. e ^ {- jn \ omega_0 t} $$

Рассмотрим интеграл с обеих сторон.

$$ \ int_ {0} ^ {T} x (t) e ^ {jk \ omega_0 t} dt = \ int_ {0} ^ {T} \ sum_ {k = – \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {jk \ omega_0 t}. e ^ {- jn \ omega_0 t} dt $$

$$ \ quad \ quad \ quad \ quad \, \, = \ int_ {0} ^ {T} \ sum_ {k = – \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {j (kn) \ omega_0 t} , дт $$

$$ \ int_ {0} ^ {T} x (t) e ^ {jk \ omega_0 t} dt = \ sum_ {k = – \ infty} ^ {\ infty} a_k \ int_ {0} ^ {T} e ^ {j (kn) \ omega_0 t} dt. \, \, ….. (2) $$

по формуле Эйлера,

$$ \ int_ {0} ^ {T} e ^ {j (kn) \ omega_0 t} dt. = \ int_ {0} ^ {T} \ cos (kn) \ omega_0 dt + j \ int_ {0} ^ {T} \ sin (kn) \ omega_0t \, dt $$

$$ \ int_ {0} ^ {T} e ^ {j (kn) \ omega_0 t} dt. = \ left \ {\ begin {array} {ll} T & \ quad k = n \\ 0 & \ quad k \ neq n \ end {array} \ right. $$

Следовательно, в уравнении 2 интеграл равен нулю для всех значений k, кроме k = n. Положите k = n в уравнении 2.

 Rightarrow intT0x(t)ejn omega0tdt=anT

 Rightarrowan=1 overT intT0ejn omega0tdt

Заменить n на k.

 Rightarrowak=1 overT intT0ejk omega0tdt

 следовательноx(t)= sum inftyk= inftyakej(kn) omega0t

 textwhereak=1 overT intT0ejk omega0tdt