Серия Фурье

Жан-Батист Жозеф Фурье, французский математик и физик; родился в Осере, Франция. Он инициализировал ряды Фурье, преобразования Фурье и их приложения к задачам теплообмена и колебаний. Ряд Фурье, преобразования Фурье и Закон Фурье названы в его честь.

Ряд Фурье

Чтобы представить любой периодический сигнал x (t), Фурье разработал выражение под названием ряд Фурье. Это в терминах бесконечной суммы синусов и косинусов или экспонент. Ряд Фурье использует условие ортогональности.

Представление рядов Фурье непрерывных периодических сигналов времени

Сигнал называется периодическим, если он удовлетворяет условию x (t) = x (t + T) или x (n) = x (n + N).

Где T = фундаментальный период времени,

ω ₀ = основная частота = 2π / T

ω ₀ = основная частота = 2π / T

Есть два основных периодических сигнала:

$x (t) = \ cos \ omega_0t$ (синусоидальный) &

$x (t) = e ^ {j \ omega_0 t}$ (комплексная экспонента)

Эти два сигнала являются периодическими с периодом $T = 2 \ pi / \ omega_0$.

Набор гармонически связанных комплексных экспонент может быть представлен как {$\ phi_k (t)$}

$${\ phi_k (t)} = \ {e ^ {jk \ omega_0t} \} = \ {e ^ {jk ({2 \ pi \ over T}) t} \} \ text {where} \, k = 0 \ pm 1, \ pm 2 ..n \, \, \, ..... (1)$$

Все эти сигналы являются периодическими с периодом T

Согласно аппроксимации ортогонального сигнального пространства функции x (t) с n, взаимно ортогональные функции определяются как

$$x (t) = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {jk \ omega_0t} ..... (2)$$

$$= \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_kk e ^ {jk \ omega_0t}$$

Где $a_k$ = коэффициент Фурье = коэффициент приближения.

Этот сигнал x (t) также является периодическим с периодом T.

Уравнение 2 представляет представление ряда Фурье периодического сигнала x (t).

Член k = 0 является постоянным.

Член $k = \ pm1$, имеющий основную частоту $\ omega_0$, называется 1- ^й гармоникой.

Член $k = \ pm2$, имеющий основную частоту $2 \ omega_0$, называется 2- ^й гармоникой и т. Д.

Член $k = ± n$, имеющий фундаментальную частоту $n \ omega0$, называется n- ^й гармоникой.

Вывод коэффициента Фурье

Мы знаем, что $x (t) = \ Sigma_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {jk \ omega_0 t} ...... (1)$

Умножьте $e ^ {- jn \ omega_0 t}$ с обеих сторон. затем

$$ x (t) e ^ {- jn \ omega_0 t} = \ sum_ {k = — \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {jk \ omega_0 t}. e ^ {- jn \ omega_0 t} $$

Рассмотрим интеграл с обеих сторон.

$$ \ int_ {0} ^ {T} x (t) e ^ {jk \ omega_0 t} dt = \ int_ {0} ^ {T} \ sum_ {k = — \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {jk \ omega_0 t}. e ^ {- jn \ omega_0 t} dt $$

$$ \ quad \ quad \ quad \ quad \, \, = \ int_ {0} ^ {T} \ sum_ {k = — \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {j (kn) \ omega_0 t} , дт $$

$$ \ int_ {0} ^ {T} x (t) e ^ {jk \ omega_0 t} dt = \ sum_ {k = — \ infty} ^ {\ infty} a_k \ int_ {0} ^ {T} e ^ {j (kn) \ omega_0 t} dt. \, \, ….. (2) $$

по формуле Эйлера,

$$ \ int_ {0} ^ {T} e ^ {j (kn) \ omega_0 t} dt. = \ int_ {0} ^ {T} \ cos (kn) \ omega_0 dt + j \ int_ {0} ^ {T} \ sin (kn) \ omega_0t \, dt $$

$$ \ int_ {0} ^ {T} e ^ {j (kn) \ omega_0 t} dt. = \ left \ {\ begin {array} {ll} T & \ quad k = n \\ 0 & \ quad k \ neq n \ end {array} \ right. $$

Следовательно, в уравнении 2 интеграл равен нулю для всех значений k, кроме k = n. Положите k = n в уравнении 2.

$$\ Rightarrow \ int_ {0} ^ {T} x (t) e ^ {- jn \ omega_0 t} dt = a_n T$$

$$\ Rightarrow a_n = {1 \ over T} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- jn \ omega_0 t} dt$$

Заменить n на k.

$$\ Rightarrow a_k = {1 \ over T} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- jk \ omega_0 t} dt$$

$$\ следовательно x (t) = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {j (kn) \ omega_0 t}$$

$$\ text {where} a_k = {1 \ over T} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- jk \ omega_0 t} dt$$