Типы рядов Фурье

$\ sin n \ omega_0 t$ и $\ sin m \ omega_0 t$ ортогональны на отрезке $(t_0, t_0 + {2 \ pi \ over \ omega_0})$. Таким образом,  sin omega0t, sin2 omega0t$\ sin \ omega_0 t, \, \ sin 2 \ omega_0 t$ образует ортогональное множество. Этот набор не является полным без {$\ cos n \ omega_0 t$}, потому что этот набор косинусов также ортогонален множеству синусов. Таким образом, чтобы завершить этот набор, мы должны включить как косинус, так и синус. Теперь полный ортогональный набор содержит все косинусные и синусоидальные выражения, т. Е. { Sinn omega0t, cosn omega0t$\ Sin n \ omega_0 t, \, \ cos n \ omega_0 t$}, где n = 0, 1, 2 …

$\ следовательно$ Любая функция x (t) в интервале $(t_0, t_0 + {2 \ pi \ over \ omega_0})$ может быть представлена ​​как

x(t)=a0 cos0 omega0t+a1 cos1 omega0t+a2 cos2 omega0t+...+an cosn omega0t+... $$x (t) = a_0 \ cos0 \ omega_0 t + a_1 \ cos⁡ 1 \ omega_0 t + a_2 \ cos2 ⁡ \ omega_0 t + ... + a_n \ cos⁡ n \ omega_0 t + ...$$

+b0 sin0 omega0t+b1 sin1 omega0t+...+bn sinn omega0t+... $$+ b_0 \ sin⁡ 0 \ omega_0 t + b_1 \ sin⁡ 1 \ omega_0 t + ... + b_n \ sin⁡ n \ omega_0 t + ...$$

=a0+a1 cos1 omega0t+a2 cos2 omega0t+...+an cosn omega0t+... $$= a_0 + a_1 \ cos⁡ 1 \ omega_0 t + a_2 \ cos 2⁡ \ omega_0 t + ... + a_n \ cos⁡ n \ omega_0 t + ...$$

+b1 sin1 omega0t+...+bn sinn omega0t+... $$+ b_1 \ sin⁡ 1 \ omega_0 t + ... + b_n \ sin⁡ n \ omega_0 t + ...$$

 следовательноx(t)=a0+ sum inftyn=1(an cosn omega0t+bn sinn omega0t) quad(t0<t<t0+T), $$\ следовательно x (t) = a_0 + \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} (a_n \ cos⁡ n \ omega_0 t + b_n \ sin⁡ n \ omega_0 t) \ quad (t_0 &amp;lt;t &amp;lt;t_0 + T),$$

Вышеупомянутое уравнение представляет тригонометрическое представление ряда Фурье для x (t).

 textWherea0= intt0+Tt0x(t)·1dt over intt0+Tt012dt=1 overT· intt0+Tt0x(t)dt $$\ text {Where} \, a_0 = {\ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} x (t) · 1 dt \ over \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} 1 ^ 2 dt} = { 1 \ over T} · \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} x (t) dt$$

an= intt0+Tt0x(t)· cosn omega0tdt over intt0+Tt0 cos2n omega0tdt $$a_n = {\ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} x (t) · \ cos⁡ n \ omega_0 t \, dt \ over \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} \ cos ^ 2 n \ omega_0 t \, dt}$$

bn= intt0+Tt0x(t)· sinn omega0tdt over intt0+Tt0 sin2n omega0tdt $$b_n = {\ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} x (t) · \ sin n \ omega_0 t \, dt \ over \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} \ sin ^ 2 n \ omega_0 t \, dt}$$

 textHere intt0+Tt0 cos2n omega0tdt= intt0+Tt0 sin2n omega0tdt=T over2 $$\ text {Here} \, \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} \ cos ^ 2 n \ omega_0 t \, dt = \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} \ sin ^ 2 n \ omega_0 t \, dt = {T \ over 2}$$

 следовательноan=2 overT· intt0+Tt0x(t)· cosn omega0tdt $$\ следовательно a_n = {2 \ over T} · \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} x (t) · \ cos⁡ n \ omega_0 t \, dt$$

bn=2 overT· intt0+Tt0x(t)· sinn omega0tdt $$b_n = {2 \ over T} · \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} x (t) · \ sin n \ omega_0 t \, dt$$

Экспоненциальный ряд Фурье (EFS)

Рассмотрим набор комплексных экспоненциальных функций $\ left \ {e ^ {jn \ omega_0 t} \ right \} (n = 0, \ pm1, \ pm2 ...)$, ортогональных на отрезке $(t_0, t_0 + T)$. Где $T = {2 \ pi \ over \ omega_0}$. Это полный набор, поэтому можно представить любую функцию f (t), как показано ниже

$f (t) = F_0 + F_1e ^ {j \ omega_0 t} + F_2e ^ {j 2 \ omega_0 t} + ... + F_n e ^ {jn \ omega_0 t} + ...$

 quad quadF−1e−j omega0t+F−2e−j2 omega0t+...+F−ne−jn omega0t+...$\ quad \ quad \, \, F _ {- 1} e ^ {- j \ omega_0 t} + F _ {- 2} e ^ {- j 2 \ omega_0 t} + ... + F _ {- n} e ^ {- jn \ omega_0 t} + ...$

$$\ следовательно f (t) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} F_n e ^ {jn \ omega_0 t} \ quad \ quad (t_0 &amp;lt;t &amp;lt;t_0 + T) ..... .. (1)$$

Уравнение 1 представляет экспоненциальное представление ряда Фурье сигнала f (t) на интервале (t ₀ , t ₀ + T). Коэффициент Фурье определяется как

$$F_n = {\ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} f (t) (e ^ {jn \ omega_0 t}) ^ * dt \ over \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} e ^ {jn \ omega_0 t} (e ^ {jn \ omega_0 t}) ^ * dt}$$

$$\ quad = {\ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} f (t) e ^ {- jn \ omega_0 t} dt \ over \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} e ^ {- jn \ omega_0 t} e ^ {jn \ omega_0 t} dt}$$

$$ \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad \, \, = {\ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} f (t) e ^ {- jn \ omega_0 t} dt \ over \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} 1 \, dt} = {1 \ over T} \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} f (t) e ^ {- jn \ omega_0 t} DT $ $

$$\ следовательно F_n = {1 \ over T} \ int_ {t_0} ^ {t_0 + T} f (t) e ^ {- jn \ omega_0 t} dt$$

Связь между тригонометрическими и экспоненциальными рядами Фурье

Рассмотрим периодический сигнал x (t), представления TFS и EFS приведены ниже соответственно

x(t)=a0+ Sigma inftyn=1(an cosn omega0t+bn sinn omega0t)......(1)$x (t) = a_0 + \ Sigma_ {n = 1} ^ {\ infty} (a_n \ cos⁡ n \ omega_0 t + b_n \ sin⁡ n \ omega_0 t) ... ... (1)$

$x (t) = \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} F_n e ^ {jn \ omega_0 t}$

 quad=F0+F1ej omega0t+F2ej2 omega0t+...+Fnejn omega0t+...$\ quad \, \, \, = F_0 + F_1e ^ {j \ omega_0 t} + F_2e ^ {j 2 \ omega_0 t} + ... + F_n e ^ {jn \ omega_0 t} + ...$

$\ quad \ quad \ quad \ quad F _ {- 1} e ^ {- j \ omega_0 t} + F _ {- 2} e ^ {- j 2 \ omega_0 t} + ... + F _ {- n} e ^ {- jn \ omega_0 t} + ...$

$= F_0 + F_1 (\ cos \ omega_0 t + j \ sin \ omega_0 t) + F_2 (cos 2 \ omega_0 t + j \ sin 2 \ omega_0 t) + ... + F_n (\ cos n \ omega_0 t + j \ sin n \ omega_0 t) + ... + F _ {- 1} (\ cos \ omega_0 tj \ sin \ omega_0 t) + F _ {- 2} (\ cos 2 \ omega_0 tj \ sin 2 \ omega_0 t) + ... + F _ {- n} (\ cos n \ omega_0 tj \ sin n \ omega_0 t) + ...$

$= F_0 + (F_1 + F _ {- 1}) \ cos \ omega_0 t + (F_2 + F _ {- 2}) \ cos2 \ omega_0 t + ... + j (F_1 - F _ {- 1}) \ sin \ omega_0 t + j (F_2 - F _ {- 2}) \ sin2 \ omega_0 t + ...$

$\ следовательно x (t) = F_0 + \ Sigma_ {n = 1} ^ {\ infty} ((F_n + F _ {- n}) \ cos n \ omega_0 t + j (F_n-F _ {- n}) \ sin n \ omega_0 t) ... ... (2)$

Сравните уравнения 1 и 2.

$a_0 = F_0$

$A_n = F_n + F _ {- п}$

$b_n = j (F_n-F _ {- n})$

Так же,

$F_n = \ frac12 (a_n - jb_n)$

$F _ {- n} = \ frac12 (a_n + jb_n)$