Учебники

Свертка и корреляция

Свертка – это математическая операция, используемая для выражения связи между входом и выходом системы LTI. Он связывает вход, выход и импульсную характеристику системы LTI как

y(t)=x(t)h(t)

Где у (т) = выходной LTI

х (т) = ввод LTI

h (t) = импульсный отклик LTI

Есть два типа извилин:

  • Непрерывная свертка

  • Дискретная свертка

Непрерывная свертка

Дискретная свертка

Непрерывная свертка

непрерывная свертка

y(t)=x(t)h(t)

= int infty inftyx( tau)h(t tau)d tau

(или же)

= int infty inftyx(t tau)h( tau)d tau

Дискретная свертка

Дискретная свертка

y(n)=x(n)h(n)

= Sigma inftyk= inftyx(k)h(nk)

(или же)

= Sigma inftyk= inftyx(nk)h(k)

Используя свертку, мы можем найти отклик системы в нулевом состоянии.

деконволюция

Деконволюция – это процесс, обратный процессу свертки, широко используемый в обработке сигналов и изображений.

Свойства свертки

Коммутативная собственность

x1(t)x2(t)=x2(t)x1(t)

Распределительное свойство

x1(t)[x2(t)+x3(t)]=[x1(t)x2(t)]+[x1(t)x3(t)]

Ассоциативная собственность

x1(t)[x2(t)x3(t)]=[x1(t)x2(t)]x3(t)

Сдвиг собственности

x1(t)x2(t)=y(t)

x1(t)x2(tt0)=y(tt0)

x1(tt0)x2(t)=y(tt0)

x1(tt0)x2(tt1)=y(tt0t1)

Свертка с импульсом

x1(t) delta(t)=x(t)

x1(t) delta(tt0)=x(tt0)

Свертка шагов ступени

u(t)u(t)=r(t)

u(tT1)u(tT2)=r(tT1T2)

u(n)u(n)=[n+1]u(n)

Свойство масштабирования

Если x(t)h(t)=y(t)

тогда x(at)h(at)=1 over|a|y(at)

Дифференциация выпуска

если y(t)=x(t)h(t)

тогда dy(t) overdt=dx(t) overdth(t)

или же

dy(t) overdt=x(t)dh(t) overdt

Замечания:

  • Свертка двух причинных последовательностей является причинной.

  • Свертка двух анти-причинных последовательностей является анти-каузальной.

  • Свертывание двух прямоугольников неравной длины приводит к трапеции.

  • Свертывание двух прямоугольников одинаковой длины приводит к треугольнику.

  • Свернутая функция сама по себе равна интеграции этой функции.

Свертка двух причинных последовательностей является причинной.

Свертка двух анти-причинных последовательностей является анти-каузальной.

Свертывание двух прямоугольников неравной длины приводит к трапеции.

Свертывание двух прямоугольников одинаковой длины приводит к треугольнику.

Свернутая функция сама по себе равна интеграции этой функции.

Пример: вы знаете, что u(t)u(t)=r(t)

Согласно приведенному выше примечанию, u(t)u(t)= intu(t)dt= int1dt=t=r(t)

Здесь вы получаете результат, просто интегрируя u(t).

Пределы замысловатого сигнала

Если два сигнала свернуты, то результирующий извилистый сигнал имеет следующий диапазон:

Сумма нижних пределов <t <сумма верхних пределов

Пример: найти диапазон свертки сигналов, приведенных ниже

Пределы извилистого сигнала

Здесь у нас есть два прямоугольника неравной длины, чтобы свернуть, что приводит к трапеции.

Диапазон извилистого сигнала:

Сумма нижних пределов <t <сумма верхних пределов

1+2<t<2+2

3<t<4

Следовательно, результатом является трапеция с периодом 7.

Площадь извилистого сигнала

Площадь под извилистым сигналом определяется как Ay=AxAh

Где A x = площадь под входным сигналом

A h = площадь под импульсным откликом

A y = площадь под выходным сигналом

Доказательство: y(t)= int infty inftyx( tau)h(t tau)d tau

Возьмите интеграцию с обеих сторон

 inty(t)dt= int int infty inftyx( tau)h(t tau)d taudt

= intx( tau)d tau int infty inftyh(t tau)dt

Мы знаем, что область любого сигнала – это интеграция самого сигнала.

 следовательноAy=AxAh

Компонент постоянного тока

Постоянная составляющая любого сигнала определяется

 textDCcomponent= textобластьсигнала over textпериодсигнала

Пример: какова постоянная составляющая результирующего извилистого сигнала, приведенного ниже?

постоянная составляющая результирующего извилистого сигнала

Здесь площадь х 1 (т) = длина × ширина = 1 × 3 = 3

площадь х 2 (т) = длина × ширина = 1 × 4 = 4

площадь извилистого сигнала = площадь х 1 (т) х площадь х 2 (т)

= 3 × 4 = 12

Длительность извилистого сигнала = сумма нижних пределов <t <сумма верхних пределов

= -1 + -2 <t <2 + 2

= -3 <t <4

Период = 7

Компонент  следовательно Dc извилистого сигнала =  textобластьсигнала over textпериодсигнала

Компонент постоянного тока = 12 over7

Дискретная свертка

Давайте посмотрим, как рассчитать дискретную свертку:

я. Для вычисления дискретной линейной свертки:

Свернутые две последовательности x [n] = {a, b, c} & h [n] = [e, f, g]

дискретная линейная свертка

Свернутый вывод = [ea, eb + fa, ec + fb + ga, fc + gb, gc]

Примечание: если любые две последовательности имеют m, n числа выборок соответственно, то полученная извилистая последовательность будет иметь [m + n-1] выборок.

Пример: две сложные последовательности x [n] = {1,2,3} & h [n] = {-1,2,2}

дискретная линейная свертка

Свернутый вывод y [n] = [-1, -2 + 2, -3 + 4 + 2, 6 + 4, 6]

= [-1, 0, 3, 10, 6]

Здесь x [n] содержит 3 выборки, а h [n] также имеет 3 выборки, поэтому результирующая последовательность имеет 3 + 3-1 = 5 выборок.

II. Для расчета периодической или круговой свертки:

Периодическая свертка действительна для дискретного преобразования Фурье. Для расчета периодической свертки все образцы должны быть действительными. Периодическая или круговая свертка также называется быстрой сверткой.

Если две последовательности длиной m, n соответственно свернуты с использованием круговой свертки, то результирующая последовательность имеет максимум [m, n] выборок.

Пример: свертка двух последовательностей x [n] = {1,2,3} & h [n] = {-1,2,2} с использованием круговой свертки

дискретная линейная свертка

Нормальный свернутый выход y [n] = [-1, -2 + 2, -3 + 4 + 2, 6 + 4, 6].

= [-1, 0, 3, 10, 6]

Здесь x [n] содержит 3 образца, а h [n] также имеет 3 образца. Следовательно, полученная последовательность, полученная круговой сверткой, должна иметь максимум [3,3] = 3 выборки.

Теперь, чтобы получить результат периодической свертки, первые 3 выборки [с периодом 3] нормальной свертки совпадают, следующие две выборки добавляются к 1-м выборкам, как показано ниже:

результат круговой свертки

 следовательно Результат круговой свертки y[n]=[9 quad6 quad3]

корреляция

Корреляция – это мера сходства между двумя сигналами. Общая формула для корреляции

 int infty inftyx1(t)x2(t tau)dt

Существует два типа корреляции:

  • Автокорреляция

  • Cros корреляция

Автокорреляция

Cros корреляция

Функция автокорреляции

Это определяется как корреляция сигнала с самим собой. Функция автокорреляции – это мера сходства сигнала и его версии с задержкой по времени. Он представлен с помощью R ( tau).

Рассмотрим сигналы x (t). Функция автокорреляции x (t) с версией с временной задержкой задается как

R11( tau)=R( tau)= int infty inftyx(t)x(t tau)dt quad quad text[+veshift]

 quad quad quad quad quad= int infty inftyx(t)x(t+ tau)dt quad quad text[veshift]

Где  tau = параметр поиска или сканирования или задержки.

Если сигнал сложный, то функция автокорреляции определяется как

R11( tau)=R( tau)= int infty inftyx(t)x(t tau)dt quad quad text[+veshift]

 quad quad quad quad quad= int infty inftyx(t+ tau)x(t)dt quad quad text[veshift]

Свойства автокорреляционной функции энергетического сигнала

  • Автокорреляция проявляет сопряженную симметрию, т.е. R ( tau) = R * (-  tau)

  • Автокорреляционная функция энергетического сигнала в начале координат, т.е. при  tau = 0, равна полной энергии этого сигнала, которая определяется как:

    R (0) = E =  int infty infty|x(t)|2dt

  • Автокорреляционная функция  infty1 over tau,

  • Функция автокорреляции максимальна при  tau = 0, т.е. | R ( tau) | ≤ R (0) ∀  tau

  • Автокорреляционная функция и спектральные плотности энергии являются парами преобразования Фурье. т.е.

    FT[R( tau)]= Psi( omega)

     Psi( omega)= int infty inftyR( tau)ej omega taud tau

  • R( tau)=x( tau)x( tau)

Автокорреляция проявляет сопряженную симметрию, т.е. R ( tau) = R * (-  tau)

Автокорреляционная функция энергетического сигнала в начале координат, т.е. при  tau = 0, равна полной энергии этого сигнала, которая определяется как:

R (0) = E =  int infty infty|x(t)|2dt

Автокорреляционная функция  infty1 over tau,

Функция автокорреляции максимальна при  tau = 0, т.е. | R ( tau) | ≤ R (0) ∀  tau

Автокорреляционная функция и спектральные плотности энергии являются парами преобразования Фурье. т.е.

FT[R( tau)]= Psi( omega)

 Psi( omega)= int infty inftyR( tau)ej omega taud tau

R( tau)=x( tau)x( tau)

Автокорреляционная функция силовых сигналов

Функция автокорреляции периодического сигнала мощности с периодом T определяется как

R( tau)= limT to infty1 overT intT over2T over2x(t)x(t tau)dt

свойства

  • Автокорреляция сигнала мощности проявляет сопряженную симметрию, т.е. R( tau)=R( tau)

  • Автокорреляционная функция сигнала мощности при  tau=0 (в начале координат) равна общей мощности этого сигнала. т.е.

    R(0)= rho

  • Автокорреляционная функция сигнала мощности  infty1 over tau,

  • Автокорреляционная функция сигнала мощности максимальна при  tau = 0, т.е.

    $ | R (\ тау) | \ leq R (0) \, \ forall \, \ tau $

  • Автокорреляционная функция и спектральные плотности мощности являются парами преобразования Фурье. т.е.

    FT[R( tau)]=s( omega)

    s( omega)= int infty inftyR( tau)ej omega taud tau

  • R( tau)=x( tau)x( tau)

Автокорреляция сигнала мощности проявляет сопряженную симметрию, т.е. R( tau)=R( tau)

Автокорреляционная функция сигнала мощности при  tau=0 (в начале координат) равна общей мощности этого сигнала. т.е.

R(0)= rho

Автокорреляционная функция сигнала мощности  infty1 over tau,

Автокорреляционная функция сигнала мощности максимальна при  tau = 0, т.е.

$ | R (\ тау) | \ leq R (0) \, \ forall \, \ tau $

Автокорреляционная функция и спектральные плотности мощности являются парами преобразования Фурье. т.е.

FT[R( tau)]=s( omega)

s( omega)= int infty inftyR( tau)ej omega taud tau

R( tau)=x( tau)x( tau)

Плотность спектра

Давайте посмотрим спектры плотности:

Спектр плотности энергии

Спектр плотности энергии можно рассчитать по формуле:

E= int infty infty|x(f)|2df

Спектр плотности мощности

Спектр плотности мощности можно рассчитать по формуле:

P= Sigma inftyn= infty|Cn|2

Функция взаимной корреляции

Кросс-корреляция – это мера сходства двух разных сигналов.

Рассмотрим два сигнала x 1 (t) и x 2 (t). Кросс-корреляция этих двух сигналов R12( tau) определяется как

R12( tau)= int infty inftyx1(t)x2(t tau)dt quad quad text[+veshift]

 quad quad= int infty inftyx1(t+ tau)x2(t)dt quad quad text[veshift]

Если сигналы являются сложными, то

R12( tau)= int infty inftyx1(t)x2(t tau)dt quad quad text[+veshift]

$$ \ quad \ quad = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_1 (t + \ tau) x_2 ^ {*} (t) \, dt \ quad \ quad \ text {[- ve shift]} $ $

R21( tau)= int infty inftyx2(t)x1(t tau)dt quad quad text[+veshift]

$$ \ quad \ quad = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_2 (t + \ tau) x_1 ^ {*} (t) \, dt \ quad \ quad \ text {[- ve shift]} $ $

Свойства кросс-корреляционной функции сигналов энергии и мощности

  • Автокорреляция демонстрирует сопряженную симметрию, т.е. R12( tau)=R21( tau).

  • Кросс-корреляция не коммутативна, как свертка, т.е.

    R12( tau) neqR21( tau)

  • Если R 12 (0) = 0 означает, что если  int infty inftyx1(t)x2(t)dt=0, то эти два сигнала называются ортогональными.

    Для сигнала питания, если  limT to infty1 overT intT over2T over2x(t)x(t)dt, тогда два сигнала называются ортогональными.

  • Функция взаимной корреляции соответствует умножению спектров одного сигнала на комплексное сопряжение спектра другого сигнала. т.е.

    R12( tau) leftarrow rightarrowX1( omega)X2( omega)

    Это также называется корреляционной теоремой.

Автокорреляция демонстрирует сопряженную симметрию, т.е. R12( tau)=R21( tau).

Кросс-корреляция не коммутативна, как свертка, т.е.

R12( tau) neqR21( tau)

Если R 12 (0) = 0 означает, что если  int infty inftyx1(t)x2(t)dt=0, то эти два сигнала называются ортогональными.

Для сигнала питания, если  limT to infty1 overT intT over2T over2x(t)x(t)dt, тогда два сигнала называются ортогональными.

Функция взаимной корреляции соответствует умножению спектров одного сигнала на комплексное сопряжение спектра другого сигнала. т.е.

R12( tau) leftarrow rightarrowX1( omega)X2( omega)

Это также называется корреляционной теоремой.

Теорема Парсеваля

Теорема Парсеваля для энергетических сигналов гласит, что полная энергия в сигнале может быть получена из спектра сигнала как

E=1 over2 pi int infty infty|X( omega)|2d omega

Примечание. Если сигнал имеет энергию E, то масштабированная по времени версия этого сигнала x (at) имеет энергию E / a.