Свойства преобразования Лапласа

Свойства преобразования Лапласа:

Свойство линейности

Если x(t) stackrel mathrmLT longleftrightarrowX(s)$\, x (t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} X (s)$

& y(t) stackrel mathrmLT longleftrightarrowY(s)$\, y (t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} Y (s)$

Тогда свойство линейности утверждает, что

$ax (t) + by (t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} a X (s) + b Y (s)$

Time Shifting Свойство

Если x(t) stackrel mathrmLT longleftrightarrowX(s)$\, x (t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} X (s)$

Тогда свойство сдвига времени утверждает, что

$x (t-t_0) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} e ^ {- st_0} X (s)$

Свойство сдвига частоты

Если x(t) stackrel mathrmLT longleftrightarrowX(s)$\, x (t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} X (s)$

Тогда свойство сдвига частоты утверждает, что

$ e ^ {s_0 t}. x (t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} X (s-s_0) $

Свойство Обратного Времени

Если x(t) stackrel mathrmLT longleftrightarrowX(s)$\, x (t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} X (s)$

Тогда свойство обращения времени утверждает, что

$x (-t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} X (-s)$

Свойство масштабирования времени

Если x(t) stackrel mathrmLT longleftrightarrowX(s)$\, x (t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} X (s)$

Тогда свойство масштабирования времени утверждает, что

$x (at) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} {1 \ over | a |} X ({s \ over a})$

Дифференцирующие и интеграционные свойства

Если x(t) stackrel mathrmLT longleftrightarrowX(s)$\, x (t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} X (s)$

Тогда свойство дифференциации утверждает, что

$ {dx (t) \ over dt} \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} s. Х (с) — с. X (0) $

$ {d ^ nx (t) \ over dt ^ n} \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} (s) ^ n. X (s) $

Свойство интеграции утверждает, что

$\ int x (t) dt \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} {1 \ over s} X (s)$

 iiint... intx(t)dt stackrel mathrmLT longleftrightarrow1 oversnX(s)$\ iiint \, ... \, \ int x (t) dt \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} {1 \ over s ^ n} X (s)$

Свойства умножения и свертки

Если x(t) stackrel mathrmLT longleftrightarrowX(s)$\, x (t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} X (s)$

и $y (t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} Y (s)$

Тогда свойство умножения утверждает, что

$ Х (т). y (t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} {1 \ over 2 \ pi j} X (s) * Y (s) $

Свойство свертки утверждает, что

$x (t) * y (t) \ stackrel {\ mathrm {LT}} {\ longleftrightarrow} X (s) .Y (s)$