Учебники

Свойства ряда Фурье

Это свойства ряда Фурье:

Свойство линейности

Если $ x (t) \ xleftarrow [\,] {Фурье \, серия} \ xrightarrow [\,] {коэффициент} f_ {xn} $ & $ y (t) \ xleftarrow [\,] {Фурье \, серия} \ xrightarrow [\,] {коэффициент} f_ {yn} $

тогда свойство линейности утверждает, что

$ \ text {a} \, x (t) + \ text {b} \, y (t) \ xleftarrow [\,] {fourier \, series} \ xrightarrow [\,] {коэффициент} \ text {a} \, f_ {xn} + \ text {b} \, f_ {yn} $

Time Shifting Свойство

Если $ x (t) \ xleftarrow [\,] {Фурье \, серия} \ xrightarrow [\,] {коэффициент} f_ {xn} $

тогда свойство сдвига времени утверждает, что

$ x (t-t_0) \ xleftarrow [\,] {Фурье \, серия} \ xrightarrow [\,] {коэффициент} e ^ {- jn \ omega_0 t_0} f_ {xn} $

Свойство сдвига частоты

Если $ x (t) \ xleftarrow [\,] {Фурье \, серия} \ xrightarrow [\,] {коэффициент} f_ {xn} $

тогда свойство сдвига частоты утверждает, что

$ e ^ {jn \ omega_0 t_0}. x (t) \ xleftarrow [\,] {fourier \, series} \ xrightarrow [\,] {коэффициент} f_ {x (n-n_0)} $

Свойство Обратного Времени

Если $ x (t) \ xleftarrow [\,] {Фурье \, серия} \ xrightarrow [\,] {коэффициент} f_ {xn} $

тогда свойство обращения времени утверждает, что

Если $ x (-t) \ xleftarrow [\,] {Фурье \, серия} \ xrightarrow [\,] {коэффициент} f _ {- xn} $

Свойство масштабирования времени

Если $ x (t) \ xleftarrow [\,] {Фурье \, серия} \ xrightarrow [\,] {коэффициент} f_ {xn} $

тогда свойство масштабирования времени утверждает, что

Если $ x (at) \ xleftarrow [\,] {fourier \, series} \ xrightarrow [\,] {factor} f_ {xn} $

Свойство масштабирования по времени изменяет частотные составляющие с $ \ omega_0 $ на $ a \ omega_0 $.

Дифференцирующие и интеграционные свойства

Если $ x (t) \ xleftarrow [\,] {Фурье \, серия} \ xrightarrow [\,] {коэффициент} f_ {xn} $

тогда свойство дифференциации утверждает, что

Если $ {dx (t) \ over dt} \ xleftarrow [\,] {fourier \, series} \ xrightarrow [\,] {factor} jn \ omega_0. f_ {хп} $

& свойство интеграции заявляет, что

Если $ \ int x (t) dt \ xleftarrow [\,] {fourier \, series} \ xrightarrow [\,] {factor} {f_ {xn} \ over jn \ omega_0} $

Свойства умножения и свертки

Если $ x (t) \ xleftarrow [\,] {Фурье \, серия} \ xrightarrow [\,] {коэффициент} f_ {xn} $ & $ y (t) \ xleftarrow [\,] {Фурье \, серия} \ xrightarrow [\,] {коэффициент} f_ {yn} $

тогда свойство умножения утверждает, что

$ х (т). y (t) \ xleftarrow [\,] {fourier \, series} \ xrightarrow [\,] {коэффициент} T f_ {xn} * f_ {yn} $

и свойство свертки утверждает, что

$ x (t) * y (t) \ xleftarrow [\,] {fourier \, series} \ xrightarrow [\,] {коэффициент} T f_ {xn}. f_ {уп} $

Свойства сопряженной и сопряженной симметрии

Если $ x (t) \ xleftarrow [\,] {Фурье \, серия} \ xrightarrow [\,] {коэффициент} f_ {xn} $

Тогда сопряженное свойство утверждает, что

$ x * (t) \ xleftarrow [\,] {Фурье \, серия} \ xrightarrow [\,] {коэффициент} f * _ {xn} $

Свойство сопряженной симметрии для сигнала реального времени гласит, что

$$ f * _ {xn} = f _ {- xn} $$

& Сопряженное свойство симметрии для мнимо-значных временных сигналов гласит, что

$$ f * _ {xn} = -f _ {- xn} $$