Комплексное преобразование Фурье также называется двусторонним преобразованием Лапласа. Это используется для решения дифференциальных уравнений. Рассмотрим систему LTI, выходящую из сложного экспоненциального сигнала вида x (t) = Ge st .
Где s = любое комплексное число = $ \ sigma + j \ omega $,
σ = действительное с, и
ω = мнимая s
Ответ LTI может быть получен путем свертки ввода с его импульсной характеристикой, т.е.
$ y (t) = x (t) \ times h (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, h (\ tau) \, x (t- \ tau) d \ tau $
$ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, h (\ tau) \, Ge ^ {s (t- \ tau)} d \ tau $
$ = Ge ^ {st}. \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, h (\ tau) \, e ^ {(- s \ tau)} d \ tau $
$ y (t) = Ge ^ {st} .H (S) = x (t) .H (S) $
Где H (S) = преобразование Лапласа $ h (\ tau) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} h (\ tau) e ^ {- s \ tau} d \ tau $
Точно так же преобразование Лапласа $ x (t) = X (S) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) e ^ {- st} dt \, … \, … ( 1) $
Связь между преобразованиями Лапласа и Фурье
Преобразование Лапласа $ x (t) = X (S) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) e ^ {- st} dt $
Подставим s = σ + jω в вышеприведенное уравнение.
$ → X (\ sigma + j \ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \, x (t) e ^ {- (\ sigma + j \ omega) t} dt $
$ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} [x (t) e ^ {- \ sigma t}] e ^ {- j \ omega t} dt $
$ \ следовательно X (S) = FT [x (t) e ^ {- \ sigma t}] \, … \, … (2) $
$ X (S) = X (\ omega) \ quad \ quad для \, \, s = j \ omega $
Обратное преобразование Лапласа
Вы знаете, что $ X (S) = FT [x (t) e ^ {- \ sigma t}] $
$ \ to x (t) e ^ {- \ sigma t} = FT ^ {- 1} [X (S)] = FT ^ {- 1} [X (\ sigma + j \ omega)] $
$ = {1 \ over 2} \ pi \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} X (\ sigma + j \ omega) e ^ {j \ omega t} d \ omega $
$ x (t) = e ^ {\ sigma t} {1 \ over 2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} X (\ sigma + j \ omega) e ^ {j \ omega t} д \ омега $
$ = {1 \ over 2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} X (\ sigma + j \ omega) e ^ {(\ sigma + j \ omega) t} d \ omega \ ,. .. \, … (3) $
Здесь $ \ sigma + j \ omega = s $
$ jdω = ds → dω = ds / j $
$ \ следовательно x (t) = {1 \ over 2 \ pi j} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} X (s) e ^ {st} ds \, … \, … ( 4) $
Уравнения 1 и 4 представляют собой преобразование Лапласа и обратное преобразование Лапласа сигнала x (t).
Условия существования преобразования Лапласа
Условия Дирихле используются для определения существования преобразования Лапласа. т.е.
-
Функция f (t) имеет конечное число максимумов и минимумов.
-
Должно быть конечное число разрывов в сигнале f (t) в заданном интервале времени.
-
Он должен быть абсолютно интегрируемым в заданном интервале времени. т.е.
$ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | \, f (t) | \, dt \ lt \ infty $
Функция f (t) имеет конечное число максимумов и минимумов.
Должно быть конечное число разрывов в сигнале f (t) в заданном интервале времени.
Он должен быть абсолютно интегрируемым в заданном интервале времени. т.е.
$ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | \, f (t) | \, dt \ lt \ infty $
Начальные и конечные значения теорем
Если известно преобразование Лапласа неизвестной функции x (t), то можно определить начальные и конечные значения этого неизвестного сигнала, то есть x (t) при t = 0 + и t = ∞.
Теорема начального значения
Утверждение: если x (t) и его 1-я производная трансформируемы по Лапласу, то начальное значение x (t) определяется как
$$ x (0 ^ +) = \ lim_ {s \ to \ infty} SX (S) $$
Окончательная Теорема Значения
Утверждение: если x (t) и его 1-я производная трансформируемы по Лапласу, то окончательное значение x (t) определяется как
$$ x (\ infty) = \ lim_ {s \ to \ infty} SX (S) $$