Преобразование Гильберта

Гильбертово преобразование сигнала x (t) определяется как преобразование, в котором фазовый угол всех компонентов сигнала сдвинут на $\ pm \ text {90} ^ o$.

Гильбертово преобразование x (t) представляется через $\ hat {x} (t)$, и оно дается

$$\ hat {x} (t) = {1 \ over \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {x (k) \ over tk} dk$$

Обратное преобразование Гильберта имеет вид

$$\ hat {x} (t) = {1 \ over \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {x (k) \ over tk} dk$$

x (t), $\ hat {x}$ (t) называется парой преобразования Гильберта.

Свойства преобразования Гильберта

Сигнал x (t) и его преобразование Гильберта $\ hat {x}$ (t) имеют

Тот же амплитудный спектр.

Та же функция автокорреляции.

Спектральная плотность энергии одинакова как для x (t), так и для $\ hat {x}$ (t).

x (t) и $\ hat {x}$ (t) ортогональны.

Преобразование Гильберта в $\ hat {x}$ (t) равно -x (t)

Если существует преобразование Фурье, то преобразование Гильберта также существует для сигналов энергии и мощности.