Уравнение Фридмана и модели мира

В этой главе мы поймем, что такое уравнение Фридмана, и подробно изучим модели мира для различных констант кривизны.

Уравнение Фридмана

Это уравнение говорит нам о расширении пространства в однородных и изотропных моделях Вселенной.

$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho + \ frac {2U} {mr_c ^ 2a ^ 2} $ $

Это было изменено в контексте общей теории относительности (GR) и метрики Робертсона-Уокера следующим образом.

Используя уравнения GR —

$$\ frac {2U} {mr_c ^ 2} = -kc ^ 2$$

Где k — постоянная кривизны. Следовательно,

$$ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho — \ frac {kc ^ 2} {a ^ 2} $ $

Кроме того, $\ rho$ заменяется плотностью энергии, которая включает в себя вещество, излучение и любую другую форму энергии. Но для наглядности он пишется как $\ rho$.

Мировые модели для разных констант кривизны

Давайте теперь посмотрим на различные возможности в зависимости от значений константы кривизны.

Случай 1: k = 1, или закрытая вселенная

Для расширяющейся вселенной $da / dt> 0$. Поскольку расширение продолжается, первый член RHS приведенного выше уравнения выглядит как $a ^ {- 3}$, тогда как второй член имеет значение $a ^ {- 2}$. Когда два условия становятся равными, вселенная останавливает расширение. Тогда —

$$\ frac {8 \ pi G} {3} \ rho = \ frac {kc ^ 2} {a ^ 2}$$

Здесь k = 1, следовательно,

$$a = \ left [\ frac {3c ^ 2} {8 \ pi G \ rho} \ right] ^ {\ frac {1} {2}}$$

Такая вселенная конечна и имеет конечный объем. Это называется закрытая вселенная.

Случай 2: k = -1, или Открытая вселенная

Если k <0 , расширение никогда не остановится. Через некоторое время первым слагаемым в RHS можно пренебречь по сравнению со вторым слагаемым.

Здесь k = -1. Следовательно, $da / dt ∼ c$.

В этом случае Вселенная является прибрежной. Такая вселенная имеет бесконечное пространство и время. Это называется Открытой Вселенной.

Случай 3: k = 0, или Плоская Вселенная

В этом случае вселенная расширяется с убывающей скоростью. Здесь k = 0. Следовательно,

$$\ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho$$

Такая вселенная имеет бесконечное пространство и время. Это называется Плоская Вселенная.

Уравнение Фридмана говорит нам о расширении пространства в однородных и изотропных моделях Вселенной.

В зависимости от различных значений константы кривизны, мы можем иметь закрытую, открытую или плоскую вселенную.