Космология — показатель Хаббла и плотности

В этой главе мы обсудим параметры плотности и Хаббла.

Параметр Хаббла

Параметр Хаббла определяется следующим образом:

$$H (t) \ equ \ frac {da / dt} {a}$$

который измеряет, насколько быстро изменяется масштабный коэффициент. В более общем смысле, эволюция масштабного коэффициента определяется уравнением Фридмана.

$$H ^ 2 (t) \ equ \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho - \ frac {kc ^ 2} {a ^ 2} + \ frac {\ wedge} {3}$$

где ∧ — космологическая постоянная.

Для плоской вселенной, k = 0, следовательно, уравнение Фридмана становится

$$\ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho + \ frac {\ wedge} {3}$$

Для вселенной, в которой доминируют материи, плотность изменяется как —

$$\ frac {\ rho_m} {\ rho_ {m, 0}} = \ left (\ frac {a_0} {a} \ right) ^ 3 \ Rightarrow \ rho_m = \ rho_ {m, 0} a ^ {- 3}$$

и для вселенной, в которой доминирует излучение, плотность изменяется как —

$$\ frac {\ rho_ {rad}} {\ rho_ {rad, 0}} = \ left (\ frac {a_0} {a} \ right) ^ 4 \ Rightarrow \ rho_ {rad} = \ rho_ {rad, 0} а ^ {- 4}$$

В настоящее время мы живем во вселенной, в которой доминирует материя. Следовательно, учитывая $\ rho ≡ \ rho_m$, мы получаем —

$$\ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho_ {m, 0} a ^ {- 3} + \ frac {\ клином} {3}$$

Космологическая постоянная и плотность темной энергии связаны следующим образом:

$$\ rho_ \ wedge = \ frac {\ wedge} {8 \ pi G} \ Rightarrow \ wedge = 8 \ pi G \ rho_ \ wedge$$

Из этого мы получаем —

$$\ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho_ {m, 0} a ^ {- 3} + \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho_ \ wedge$$

Кроме того, критическая плотность и постоянная Хаббла связаны следующим образом:

$$\ rho_ {c, 0} = \ frac {3H_0 ^ 2} {8 \ pi G} \ Rightarrow \ frac {8 \ pi G} {3} = \ frac {H_0 ^ 2} {\ rho_ {c, 0}}$$

Из этого мы получаем —

$$\ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {H_0 ^ 2} {\ rho_ {c, 0}} \ rho_ {m, 0} a ^ {- 3} + \ frac {H_0 ^ 2} {\ rho_ {c, 0}} \ rho_ \ wedge$$

$$\ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = H_0 ^ 2 \ Omega_ {m, 0} a ^ {- 3} + H_0 ^ 2 \ Omega _ {\ wedge, 0 }$$

$$(\ dot {a}) ^ 2 = H_0 ^ 2 \ Omega_ {m, 0} a ^ {- 1} + H_0 ^ 2 \ Omega _ {\ wedge, 0} a ^ 2$$

$$\ left (\ frac {\ dot {a}} {H_0} \ right) ^ 2 = \ Omega_ {m, 0} \ frac {1} {a} + \ Omega _ {\ wedge, 0} a ^ 2$$

$$\ left (\ frac {\ dot {a}} {H_0} \ right) ^ 2 = \ Omega_ {m, 0} (1 + z) + \ Omega _ {\ wedge, 0} \ frac {1} { (1 + Z) ^ 2}$$

$$\ left (\ frac {\ dot {a}} {H_0} \ right) ^ 2 (1 + z) ^ 2 = \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega _ {\ wedge , 0}$$

$$\ left (\ frac {\ dot {a}} {H_0} \ right) ^ 2 \ frac {1} {a ^ 2} = \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega_ {\ клин, 0}$$

$$\ left (\ frac {H (z)} {H_0} \ right) ^ 2 = \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega _ {\ wedge, 0}$$

Здесь $H (z)$ — параметр Хаббла, зависящий от красного смещения. Это можно изменить, чтобы включить параметр плотности излучения $\ Omega_ {rad}$ и параметр плотности кривизны $\ Omega_k$. Модифицированное уравнение —

$$\ left (\ frac {H (z)} {H_0} \ right) ^ 2 = \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega_ {rad, 0} (1 + z) ^ 4+ \ omega_ {к, 0} (1 + г) ^ 2 + \ Omega _ {\ клином, 0}$$

Или left( fracH(z)H0 right)2=E(z) $$Или \: \ left (\ frac {H (z)} {H_0} \ right) ^ 2 = E (z)$$

ИлиH(z)=H0E(z) frac12 $$Или \: H (z) = H_0E (z) ^ {\ frac {1} {2}}$$

где,

$$E (z) \ equ \ Omega_ {m, 0} (1 + z) ^ 3 + \ Omega_ {rad, 0} (1 + z) ^ 4 + \ Omega_ {k, 0} (1 + z) ^ 2 + \ Omega _ {\ клин, 0}$$

Это показывает, что параметр Хаббла меняется со временем.

Для Вселенной Эйнштейна-де Ситтера $\ Omega_m = 1, \ Omega_ \ wedge = 0, k = 0$.

Поместив эти значения в, мы получим —

$$H (z) = H_0 (1 + z) ^ {\ frac {3} {2}}$$

которая показывает временную эволюцию параметра Хаббла для вселенной Эйнштейна-де Ситтера.

Параметр плотности

Параметр плотности $\ Omega$ определяется как отношение фактической (или наблюдаемой) плотности ρ к критической плотности $\ rho_c$. Для любой величины $x$ соответствующий параметр плотности $\ Omega_x$ может быть математически выражен как —

$$\ Omega_x = \ frac {\ rho_x} {\ rho_c}$$

Для различных рассматриваемых величин можно определить следующие параметры плотности.

$\ Omega_b = \ frac {\ rho_b} {\ rho_c}$

$\ Omega_m = \ frac {\ rho_m} {\ rho_c}$

$\ Omega_ \ wedge = \ frac {\ rho_ \ wedge} {\ rho_c}$

$\ Omega_ {rad} = \ frac {\ rho_ {rad}} {\ rho_c}$

Где символы имеют свои обычные значения.

Эволюция масштабного коэффициента определяется уравнением Фридмана .

H (z) — параметр Хаббла, зависящий от красного смещения.

Параметр Хаббла меняется со временем.

Параметр плотности определяется как отношение фактической (или наблюдаемой) плотности к критической плотности.