Учебники

Параметр Хаббла и масштабный коэффициент

В этой главе мы обсудим как параметр Хаббла, так и коэффициент масштабирования.

  • Обязательное условие – космологическое красное смещение, космологические принципы.

  • Предположение – Вселенная однородна и изотропна.

Обязательное условие – космологическое красное смещение, космологические принципы.

Предположение – Вселенная однородна и изотропна.

Константа Хаббла с дробной скоростью изменения масштабного коэффициента

В этом разделе мы будем связывать постоянную Хаббла с частичной скоростью изменения коэффициента масштабирования.

Мы можем записать скорость следующим образом и упростить.

v= frac mathrmdrp mathrmdt

= fracd[a(t)rcdt

v= frac mathrmda mathrmdt ast frac1a ast(arc)

v= frac mathrmda mathrmdt ast frac1a astrp

Здесь v – скорость спада, a – коэффициент масштабирования, а r p – правильное расстояние между галактиками.

Эмпирическая формула Хаббла имела природу –

v=H astrp

Таким образом, сравнивая два приведенных выше уравнения, получаем:

Параметр Хаббла = Дробная скорость изменения масштабного коэффициента

H=da/dt ast1/a

Примечание. Это не постоянная величина, поскольку масштабный коэффициент является функцией времени. Следовательно, это называется параметром Хаббла, а не постоянной Хаббла.

Опытным путем мы пишем –

H=V/D

Таким образом, из этого уравнения мы можем сделать вывод, что, поскольку D увеличивается, а V является константой, то H уменьшается со временем и расширением Вселенной.

Уравнение Фридмана в связи с моделью Робертсона-Уокера

В этом разделе мы поймем, как используется уравнение Фридмана в сочетании с моделью Робертсона-Уокера. Чтобы понять это, возьмем в качестве примера следующее изображение, на котором испытательная масса находится на расстоянии r p от массы M.

конъюнкция

Принимая во внимание вышеприведенное изображение, мы можем выразить силу как –

F=G astM ast fracmr2p

Здесь G – универсальная гравитационная постоянная, а ρ – плотность вещества внутри наблюдаемой вселенной.

Теперь, предполагая однородную плотность массы внутри сферы, мы можем написать –

M= frac43 ast pi astr3p ast rho

Используя их обратно в нашем уравнении силы, мы получаем –

F= frac43 ast pi astG astrp ast rho astm

Таким образом, мы можем записать потенциальную энергию и кинетическую энергию массы m как –

V= frac43 ast pi astG astr2p astm ast rho

KE= frac12 astm ast frac mathrmdr2p mathrmdt

Используя теорему вириала

U=KE+V

U= frac12 astm ast left( frac mathrmdrp mathrmdt right)2 frac43 ast pi astG astr2p astm ast rho

Но здесь, rp=arc. Итак, мы получаем –

U= frac12 astm ast left( frac mathrmda mathrmdt right)2r2c frac43 ast pi astG astr2p astm ast rho

При дальнейшем упрощении получим уравнение Фридмана,

 left( frac dotaa right)2= frac8 pi3 astG ast rho+ frac2Um astr2c asta2

Здесь U постоянная. Также отметим, что во вселенной, в которой мы живем в настоящее время, преобладает материя, а плотность энергии излучения очень мала.

Параметр Хаббла уменьшается со временем и расширением Вселенной.

В настоящее время во вселенной, в которой мы живем, доминирует материя, а плотность энергии излучения очень низкая.