В этой главе мы обсудим как параметр Хаббла, так и коэффициент масштабирования.
-
Обязательное условие – космологическое красное смещение, космологические принципы.
-
Предположение – Вселенная однородна и изотропна.
Обязательное условие – космологическое красное смещение, космологические принципы.
Предположение – Вселенная однородна и изотропна.
Константа Хаббла с дробной скоростью изменения масштабного коэффициента
В этом разделе мы будем связывать постоянную Хаббла с частичной скоростью изменения коэффициента масштабирования.
Мы можем записать скорость следующим образом и упростить.
v= frac mathrmdrp mathrmdt
= fracd[a(t)rcdt
v= frac mathrmda mathrmdt ast frac1a ast(arc)
v= frac mathrmda mathrmdt ast frac1a astrp
Здесь v – скорость спада, a – коэффициент масштабирования, а r p – правильное расстояние между галактиками.
Эмпирическая формула Хаббла имела природу –
v=H astrp
Таким образом, сравнивая два приведенных выше уравнения, получаем:
Параметр Хаббла = Дробная скорость изменения масштабного коэффициента
H=da/dt ast1/a
Примечание. Это не постоянная величина, поскольку масштабный коэффициент является функцией времени. Следовательно, это называется параметром Хаббла, а не постоянной Хаббла.
Опытным путем мы пишем –
H=V/D
Таким образом, из этого уравнения мы можем сделать вывод, что, поскольку D увеличивается, а V является константой, то H уменьшается со временем и расширением Вселенной.
Уравнение Фридмана в связи с моделью Робертсона-Уокера
В этом разделе мы поймем, как используется уравнение Фридмана в сочетании с моделью Робертсона-Уокера. Чтобы понять это, возьмем в качестве примера следующее изображение, на котором испытательная масса находится на расстоянии r p от массы M.
Принимая во внимание вышеприведенное изображение, мы можем выразить силу как –
F=G astM ast fracmr2p
Здесь G – универсальная гравитационная постоянная, а ρ – плотность вещества внутри наблюдаемой вселенной.
Теперь, предполагая однородную плотность массы внутри сферы, мы можем написать –
M= frac43 ast pi astr3p ast rho
Используя их обратно в нашем уравнении силы, мы получаем –
F= frac43 ast pi astG astrp ast rho astm
Таким образом, мы можем записать потенциальную энергию и кинетическую энергию массы m как –
V=− frac43 ast pi astG astr2p astm ast rho
KE= frac12 astm ast frac mathrmdr2p mathrmdt
Используя теорему вириала –
U=KE+V
U= frac12 astm ast left( frac mathrmdrp mathrmdt right)2− frac43 ast pi astG astr2p astm ast rho
Но здесь, rp=arc. Итак, мы получаем –
U= frac12 astm ast left( frac mathrmda mathrmdt right)2r2c− frac43 ast pi astG astr2p astm ast rho
При дальнейшем упрощении получим уравнение Фридмана,
left( frac dotaa right)2= frac8 pi3 astG ast rho+ frac2Um astr2c asta2
Здесь U постоянная. Также отметим, что во вселенной, в которой мы живем в настоящее время, преобладает материя, а плотность энергии излучения очень мала.
Параметр Хаббла уменьшается со временем и расширением Вселенной.
В настоящее время во вселенной, в которой мы живем, доминирует материя, а плотность энергии излучения очень низкая.