Космология — Метрика Робертсона-Уокера

В этой главе мы подробно разберемся с метрикой Робертсона-Уокера.

Модель изменения масштабного коэффициента со временем

Предположим, что фотон испущен из далекой галактики. Пространство вперед для фотона во всех направлениях. Расширение Вселенной происходит во всех направлениях. Давайте посмотрим, как масштабный коэффициент изменяется со временем в следующих шагах.

Шаг 1 — Для статической вселенной масштабный коэффициент равен 1, т. Е. Значение сопутствующего расстояния — это расстояние между объектами.

Шаг 2 — На следующем рисунке представлен график вселенной, которая все еще расширяется, но с уменьшающейся скоростью, что означает, что график начнется в прошлом. T = 0 указывает, что вселенная началась с этой точки.

Шаг 3 — следующее изображение представляет собой график для вселенной, которая расширяется с большей скоростью.

Шаг 4 — На следующем рисунке показан график для вселенной, которая начинает сокращаться с этого момента.

Если значение масштабного коэффициента становится 0 во время сокращения вселенной, это означает, что расстояние между объектами становится 0 , то есть правильное расстояние становится 0 . Сопутствующее расстояние, которое является расстоянием между объектами в существующей вселенной, является постоянной величиной. В будущем, когда коэффициент масштабирования станет равным 0 , все станет ближе. Модель зависит от компонента вселенной.

Метрика для плоского (евклидова: нет параметра для кривизны) расширяющейся вселенной задается как —

ds2=a2(t) left(dr2+r2d theta2+r2sin2 thetad varphi2 right)

$$ds ^ 2 = a ^ 2 (t) \ left (dr ^ 2 + r ^ 2d \ theta ^ 2 + r ^ 2sin ^ 2 \ theta d \ varphi ^ 2 \ right)$$

Для пространства-времени линейный элемент, который мы получили в приведенном выше уравнении, изменяется как —

ds ^ 2 = c ^ 2dt ^ 2 — \ left \ {a ^ 2 (t) \ left (dr ^ 2 + r ^ 2d \ theta ^ 2 + r ^ 2sin ^ 2 \ theta d \ varphi ^ 2 \ right) \ right \}

$$ds ^ 2 = c ^ 2dt ^ 2 - \ left \ {a ^ 2 (t) \ left (dr ^ 2 + r ^ 2d \ theta ^ 2 + r ^ 2sin ^ 2 \ theta d \ varphi ^ 2 \ right) \ right \}$$

Для пространства — времени время, в которое испускается фотон, и когда он обнаруживается, отличается. Подходящее расстояние — это мгновенное расстояние до объектов, которое со временем может измениться из-за расширения Вселенной. Это расстояние, которое фотон прошел от разных объектов, чтобы добраться до нас. Это связано с расстоянием перемещения как:

dp=a(t) timesdc

$$d_p = a (t) \ times d_c$$

где $d_p$ — правильное расстояние, а $d_c$ — подходящее расстояние, которое является фиксированным.

Расстояние, измеренное до объектов в существующей вселенной, принимается как сопутствующее расстояние, что означает, что сопутствующее расстояние фиксировано и не изменяется при расширении. В прошлом коэффициент масштабирования был меньше 1, что указывает на то, что правильное расстояние было меньше.

Мы можем измерить красное смещение в галактике. Следовательно, правильное расстояние $d_p$ соответствует $c \ times t (z)$, где $t (z)$ — время возврата к красному смещению, а c — скорость света в вакууме. Время просмотра является функцией красного смещения (z) .

Основываясь на вышеупомянутом понятии, давайте проанализируем, как интерпретируется космологическое красное смещение в этом сценарии $d_p = a (t) \ times d_c$.

Предположим, что фотон (который связан с землей) испускается галактикой G. $t_ {em}$ соответствует времени, когда испускался фотон; $a (t_ {em})$ был масштабным фактором в то время, когда излучался фотон. Ко времени обнаружения фотона вся вселенная расширилась, т.е. во время обнаружения фотон сместился в красное смещение. $T_ {obs}$ соответствует времени обнаружения фотона, и соответствующий масштабный коэффициент равен $a (t_ {obs})$.

Фактор роста Вселенной определяется как

 гидроразрываа(tнабл)а(tет)

$$\ гидроразрыва {а (t_ {набл})} {а (t_ {ет})}$$

Коэффициент увеличения длины волны —

 гидроразрыва lambdaнабл lambdaэм

$$\ гидроразрыва {\ lambda_ {набл}} {\ lambda_ {эм}}$$

который равен фактору, по которому выросла вселенная. Символы имеют свое обычное значение. Следовательно,

 fraca(tobs)a(tem)= frac lambdaobs lambdaem

$$\ frac {a (t_ {obs})} {a (t_ {em})} = \ frac {\ lambda_ {obs}} {\ lambda_ {em}}$$

Мы знаем, что красное смещение (z) —

z= frac lambdaobs− lambdaem lambdaem= frac lambdaobs lambdaem−1

$$z = \ frac {\ lambda_ {obs} - \ lambda_ {em}} {\ lambda_ {em}} = \ frac {\ lambda_ {obs}} {\ lambda_ {em}} - 1$$

1+z= fraca(tobs)a(tem)

$$1 + z = \ frac {a (t_ {obs})} {a (t_ {em})}$$

Текущее значение коэффициента масштабирования равно 1, следовательно, a(tobs)=1$a (t_ {obs}) = 1$ и обозначает коэффициент масштабирования, когда фотон испускался в прошлом, через a(t)$a (t)$.

Следовательно,

1+z= frac1a(t)

$$1 + z = \ frac {1} {a (t)}$$

Интерпретация красного смещения в космологии

Чтобы понять это, давайте возьмем следующий пример: если z=2$z = 2$, то a(t)=1/3$a (t) = 1/3$.

Это означает, что вселенная расширилась в три раза с тех пор, как свет покинул этот объект. Длина волны принимаемого излучения увеличилась в три раза, потому что пространство расширилось на тот же коэффициент во время его прохождения от излучающего объекта. Следует отметить, что при таких больших значениях z красное смещение является главным образом космологическим красным смещением, и оно не является достоверной мерой реальной рецессионной скорости объекта по отношению к нам.

Для космического микроволнового фона (CMB) z = 1089 , что означает, что существующая вселенная расширилась в 1090 раз . Метрика для плоской, евклидовой, расширяющейся вселенной задается как —

ds2=a2(t)(dr2+r2d theta2+r2sin2 thetad varphi2)

$$ds ^ 2 = a ^ 2 (t) (dr ^ 2 + r ^ 2d \ theta ^ 2 + r ^ 2sin ^ 2 \ theta d \ varphi ^ 2)$$

Мы хотим написать метрику в любой кривизне.

Робертсон и Уокер доказали для любой кривизны вселенной (которая является однородной и изотропной), метрика дается как —

ds2=a2(t) left[ fracdr21−kr2+r2d theta2+r2sin2 thetad varphi2 right]

$$ds ^ 2 = a ^ 2 (t) \ left [\ frac {dr ^ 2} {1-kr ^ 2} + r ^ 2d \ theta ^ 2 + r ^ 2sin ^ 2 \ theta d \ varphi ^ 2 \ right]$$

Это широко известно как метрика Робертсона-Уокера и верно для любой топологии пространства. Обратите внимание на дополнительный фактор в dr2$dr ^ 2$. Здесь ? — постоянная кривизны.

Геометрия Вселенной

Геометрия Вселенной объясняется с помощью следующих Кривизн, которые включают —

• Положительная кривизна
• Отрицательная кривизна
• Нулевая кривизна

Давайте разберемся с каждым из них в деталях.

Положительная кривизна

Если касательная плоскость, нарисованная в любой точке поверхности кривизны, не пересекается ни в одной точке поверхности, она называется поверхностью с положительной кривизной, то есть поверхность остается на одной стороне касательной плоскости в этой точке. Поверхность сферы имеет положительную кривизну.

Отрицательная кривизна

Если касательная плоскость, нарисованная в точке на поверхности кривизны, пересекается в любой точке поверхности, она называется поверхностью с отрицательной кривизной, то есть поверхность изгибается от касательной плоскости в двух разных направлениях. Седловидная поверхность имеет отрицательную кривизну.

Теперь рассмотрим поверхность сферы. Если треугольник построен на поверхности сферы путем объединения трех точек с геодезической (дуга больших кругов), сумма внутренних углов сферического треугольника будет больше 180 ^o , т.е.

 alpha+ beta+ gamma> pi

$$\ alpha + \ beta + \ gamma> \ pi$$

Такие пространства называются положительно изогнутыми пространствами. Кроме того, кривизна является однородной и изотропной. В общем, угол в вершинах сферического треугольника следует соотношению —

 alpha+ beta+ gamma= pi+A/R2

$$\ alpha + \ beta + \ gamma = \ pi + A / R ^ 2$$

где A — площадь треугольника, а R — радиус сферы. На следующем изображении изображено положительно изогнутое пространство.

Для положительной кривизны параллельные линии должны встретиться. Рассмотрим поверхность земли, которая является положительно изогнутым пространством. Возьмите две отправные точки на экваторе. Линии, которые пересекают экватор под прямым углом, называются линиями долготы. Поскольку эти линии пересекают экватор под прямым углом, их можно назвать параллельными линиями. Начиная с экватора, они в конечном итоге пересекаются на полюсах. Этот метод был использован Карлом Гауссом и другими, чтобы понять топологию Земли.

Рассмотрим отрицательно-искривленное пространство (седло показано на следующем рисунке), сумма внутренних углов треугольника меньше 180 ^o , т.е.

 alpha+ beta+ gamma< pi

$$\ alpha + \ beta + \ gamma &amp;lt;\ pi$$

Угол в вершинах следует соотношению —

 alpha+ beta+ gamma= pi−A/R2

$$\ alpha + \ beta + \ gamma = \ pi - A / R ^ 2$$

Нулевая кривизна

Плоская поверхность имеет нулевую кривизну. Теперь для плоского пространства, если взять плоскость и построить треугольник, соединив три точки с геодезическими (прямые линии), внутренняя сумма углов будет равна

 alpha+ beta+ gamma= pi

$$\ alpha + \ beta + \ gamma = \ pi$$

Следующее изображение представляет собой плоское 2-мерное пространство.

Если кто-то хочет, чтобы пространство было однородным и изотропным, остаются только три возможности: пространство может быть равномерно плоским или иметь одинаковую положительную кривизну или иметь одинаковую отрицательную кривизну.

Константа кривизны может принимать любое из следующих трех значений.

k = \ begin {case} +1, & для \: a \: положительно \: изогнутый \: пробел; \\\ quad 0, & для \: a \: flat \: пробел; \\ — 1, & for \: a \: отрицательно \: изогнутый \: пробел; \ end {case}

$$k = \ begin {case} +1, &amp;amp; для \: a \: положительно \: изогнутый \: пробел; \\\ quad 0, &amp;amp; для \: a \: flat \: пробел; \\ - 1, &amp;amp; for \: a \: отрицательно \: изогнутый \: пробел; \ end {case}$$

Глобальная топология Вселенной

Вселенная имеет определенную топологию, но локально может иметь морщины. В зависимости от того, как материя распределена в пространстве, существуют меньшие вариации кривизны. Давайте предположим, что существует класс объектов, имеющих одинаковый истинный размер, независимо от того, где он находится во вселенной, что означает, что они похожи на стандартные свечи. Они не имеют одинаковую яркость, но они имеют одинаковый размер.

Если объект находится в положительно изогнутом пространстве, а фотоны происходят из точки A (один конец объекта) и B (другой конец объекта), фотоны будут распространяться параллельно в положительно изогнутом пространстве по пути геодезической, и они в конечном итоге встретятся , Для наблюдателя в C будет казаться, что он пришел из двух разных точек в разных направлениях.

Если объект находится в локальной вселенной и мы измеряем угловой размер, это не влияет на кривизну. Если один и тот же класс объекта виден с большим красным смещением, угловой размер не соотносится с.

 theta= fracdr

$$\ theta = \ frac {d} {r}$$

Где d — размер объекта, а r — расстояние до объекта, т. Е. Если размер больше локального размера, это означает, что кривизна положительна. Следующее изображение представляет собой фотон, обнаруженный в положительно искривленном пространстве.

Следует отметить, что не существует настоящего астрофизического объекта, который бы имел стандартные размеры и морфологию. Хотя считалось, что массивные эллиптические галактики cD соответствуют стандартным свечам, но со временем они также эволюционировали.

Нахождение расстояний до галактик

В этом разделе мы обсудим, как найти расстояние до галактики, принимая во внимание следующее изображение.

Рассмотрим Млечный Путь в точке (r, θ,) в космологической системе покоя. Можно взять ? = 0; (0, θ, ϕ), т. Е. Центр вселенной, используя предположение об однородности.

Рассмотрим галактику «G» в точке (r1, θ,). Расстояние (собственно) является кратчайшим радиальным расстоянием, пройденным фотоном. Из симметрии пространства-времени нулевая геодезическая от r = 0 до r = r1 имеет постоянное направление в пространстве. При его радиальном распространении угловые координаты не меняются. Если угловые координаты меняются, то это не самый короткий путь. Это причина, почему термин кривизны присутствует в др. ² .

Расширение вселенной происходит во всех направлениях.

Вселенная может быть статичной, расширяющейся или сжимающейся в зависимости от эволюции масштабного фактора.

CD-галактики развиваются со временем и, следовательно, не могут быть использованы в качестве стандартных свечей.

Вселенная имеет определенную топологию, но локально может иметь морщины.