Выпуклая оптимизация — внутренний продукт

Внутреннее произведение — это функция, которая дает скаляр для пары векторов.

Внутренний продукт — $f: \ mathbb {R} ^ n \ times \ mathbb {R} ^ n \ rightarrow \ kappa$, где $\ kappa$ — скаляр.

Основные характеристики внутреннего продукта следующие:

Пусть $X \ in \ mathbb {R} ^ n$

• $\ left \ langle x, x \ right \ rangle \ geq 0, \ forall x \ in X$

• $\ left \ langle x, x \ right \ rangle = 0 \ Leftrightarrow x = 0, \ forall x \ in X$

•  left langle alphax,y right rangle= alpha left langlex,y right rangle, forall alpha in kappaи forallx,y inX$\ left \ langle \ alpha x, y \ right \ rangle = \ alpha \ left \ langle x, y \ right \ rangle, \ forall \ alpha \ in \ kappa \: и \: \ forall x, y \ in X$

• $\ left \ langle x + y, z \ right \ rangle = \ left \ langle x, z \ right \ rangle + \ left \ langle y, z \ right \ rangle, \ forall x, y, z \ in X$

• $\ left \ langle \ overline {y, x} \ right \ rangle = \ left (x, y \ right), \ forall x, y \ in X$

$\ left \ langle x, x \ right \ rangle \ geq 0, \ forall x \ in X$

$\ left \ langle x, x \ right \ rangle = 0 \ Leftrightarrow x = 0, \ forall x \ in X$

 left langle alphax,y right rangle= alpha left langlex,y right rangle, forall alpha in kappaи forallx,y inX$\ left \ langle \ alpha x, y \ right \ rangle = \ alpha \ left \ langle x, y \ right \ rangle, \ forall \ alpha \ in \ kappa \: и \: \ forall x, y \ in X$

$\ left \ langle x + y, z \ right \ rangle = \ left \ langle x, z \ right \ rangle + \ left \ langle y, z \ right \ rangle, \ forall x, y, z \ in X$

$\ left \ langle \ overline {y, x} \ right \ rangle = \ left (x, y \ right), \ forall x, y \ in X$

Примечание —

• Связь между нормой и внутренним произведением: $ \ left \ | x \ right \ | = \ sqrt {\ left (x, x \ right)} $

• $\ forall x, y \ in \ mathbb {R} ^ n, \ left \ langle x, y \ right \ rangle = x_1y_1 + x_2y_2 + ... + x_ny_n$

Связь между нормой и внутренним произведением: $ \ left \ | x \ right \ | = \ sqrt {\ left (x, x \ right)} $

$\ forall x, y \ in \ mathbb {R} ^ n, \ left \ langle x, y \ right \ rangle = x_1y_1 + x_2y_2 + ... + x_ny_n$

Примеры

1. найти внутреннее произведение x= left(1,2,1 right)andy= left(3,−1,3 right)$x = \ left (1,2,1 \ right) \: and \: y = \ left (3, -1,3 \ right)$

Решение

$\ left \ langle x, y \ right \ rangle = x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3$

$\ left \ langle x, y \ right \ rangle = \ left (1 \ times3 \ right) + \ left (2 \ times-1 \ right) + \ left (1 \ times3 \ right)$

$\ left \ langle x, y \ right \ rangle = 3 + \ left (-2 \ right) + 3$

$\ left \ langle x, y \ right \ rangle = 4$

2. Если $x = \ left (4,9,1 \ right), y = \ left (-3,5,1 \ right)$ и $z = \ left (2,4,1 \ right)$, найти $\ left (x + y, z \ right)$

Решение

Как мы знаем, $\ left \ langle x + y, z \ right \ rangle = \ left \ langle x, z \ right \ rangle + \ left \ langle y, z \ right \ rangle$

$\ left \ langle x + y, z \ right \ rangle = \ left (x_1z_1 + x_2z_2 + x_3z_3 \ right) + \ left (y_1z_1 + y_2z_2 + y_3z_3 \ right)$

$\ left \ langle x + y, z \ right \ rangle = \ left \ {\ left (4 \ times 2 \ right) + \ left (9 \ times 4 \ right) + \ left (1 \ times1 \ right) \ right \} +$

$\ left \ {\ left (-3 \ times2 \ right) + \ left (5 \ times4 \ right) + \ left (1 \ times 1 \ right) \ right \}$

$\ left \ langle x + y, z \ right \ rangle = \ left (8 + 36 + 1 \ right) + \ left (-6 + 20 + 1 \ right)$

$\ left \ langle x + y, z \ right \ rangle = 45 + 15$

$\ left \ langle x + y, z \ right \ rangle = 60$