Сильно квазивыпуклая функция

Пусть f:S rightarrow mathbbRn$f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n$ и S — непустое выпуклое множество в  mathbbRn$\ mathbb {R} ^ n$, тогда f сильно квазивыпуклая функция, если для любого x1,x2 inS$x_1, x_2 \ in S$ с  left(x1 right) neq left(x2 right)$\ left (x_1 \ right) \ neq \ left (x_2 \ right)$, у нас есть f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) <max \: \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \}, \ forall \ lambda \ in \ left (0,1 \ right)$f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) &amp;lt;max \: \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \}, \ forall \ lambda \ in \ left (0,1 \ right)$

теорема

Квазивыпуклая функция f:S rightarrow mathbbRn$f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n$ на непустом выпуклом множестве S в  mathbbRn$\ mathbb {R} ^ n$ является сильно квазивыпуклой функцией, если она не постоянна на отрезке, соединяющем любую очки С.

доказательство

Пусть f — квазивыпуклая функция, и она не постоянна на отрезке, соединяющем любые точки S.

Предположим, что f не сильно квазивыпуклая функция.

Существуют x1,x2 inS$x_1, x_2 \ in S$ с x1 neqx2$x_1 \ neq x_2$, такие что

f \ left (z \ right) \ geq max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \}, \ forall z = \ lambda x_1 + \ left (1 — \ lambda \ right) x_2, \ lambda \ in \ left (0,1 \ right)

$$f \ left (z \ right) \ geq max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \}, \ forall z = \ lambda x_1 + \ left (1 - \ lambda \ right) x_2, \ lambda \ in \ left (0,1 \ right)$$

 Rightarrowf left(x1 right) leqf left(z right)$\ Rightarrow f \ left (x_1 \ right) \ leq f \ left (z \ right)$ и f left(x2 right) leqf left(z right)$f \ left (x_2 \ right) \ leq f \ left (z \ right)$

Поскольку f не является постоянной величиной в  left[x1,z right]$\ left [x_1, z \ right]$ и  left[z,x2 right]$\ left [z, x_2 \ right]$

Таким образом, существует u in left[x1,z right]$u \ in \ left [x_1, z \ right]$ и v= left[z,x2 right]$v = \ left [z, x_2 \ right]$

 Rightarrowu= mu1x1+ left(1− mu1 right)z,v= mu2z+ left(1− mu2 right)x2

$$\ Rightarrow u = \ mu_1x_1 + \ left (1- \ mu_1 \ right) z, v = \ mu_2z + \ left (1- \ mu_2 \ right) x_2$$

Поскольку f квазивыпуклый,

\ Rightarrow f \ left (u \ right) \ leq max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (z \ right) \ right \} = f \ left (z \ right) \ : \: и \: \: f \ left (v \ right) \ leq max \ left \ {f \ left (z \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \}

$$\ Rightarrow f \ left (u \ right) \ leq max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (z \ right) \ right \} = f \ left (z \ right) \ : \: и \: \: f \ left (v \ right) \ leq max \ left \ {f \ left (z \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \}$$

$$ \ Rightarrow f \ left (u \ right) \ leq f \ left (z \ right) \: \: и \: \: f \ left (v \ right) \ leq f \ left (z \ right) $ $

\ Rightarrow max \ left \ {f \ left (u \ right), f \ left (v \ right) \ right \} \ leq f \ left (z \ right)

$$\ Rightarrow max \ left \ {f \ left (u \ right), f \ left (v \ right) \ right \} \ leq f \ left (z \ right)$$

Но z — это любая точка между u и v, если любое из них равно, то f постоянно.

Следовательно, max \ left \ {f \ left (u \ right), f \ left (v \ right) \ right \} \ leq f \ left (z \ right)$max \ left \ {f \ left (u \ right), f \ left (v \ right) \ right \} \ leq f \ left (z \ right)$

что противоречит квазивыпуклости f как z in left[u,v right]$z \ in \ left [u, v \ right]$.

Следовательно, f сильно квазивыпуклая функция.

теорема

Пусть f:S rightarrow mathbbRn$f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n$ и S — непустое выпуклое множество в  mathbbRn$\ mathbb {R} ^ n$. Если  hatx$\ hat {x}$ — локальное оптимальное решение, то  hatx$\ hat {x}$ — единственное глобальное оптимальное решение.

доказательство

Поскольку сильная квазивыпуклая функция также является строго квазивыпуклой функцией, локальное оптимальное решение является глобальным оптимальным решением.

Единственность — Пусть f достигает глобального оптимального решения в двух точках u,v inS$u, v \ in S$

 Rightarrowf left(u right) leqf left(x right). Forallx inSиf left(v right) leqf влево(x right). forallx inS

$$\ Rightarrow f \ left (u \ right) \ leq f \ left (x \ right). \ Forall x \ in S \: \: и \: \: f \ left (v \ right) \ leq f \ влево (x \ right). \ forall x \ in S$$

Если u — глобальное оптимальное решение, f left(u right) leqf left(v right)$f \ left (u \ right) \ leq f \ left (v \ right)$ и f left(v right) leqf left(u right) Rightarrowf left(u right)=f left(v right)$f \ left (v \ right) \ leq f \ left (u \ right) \ Rightarrow f \ left (u \ right) = f \ left (v \ right)$

f \ left (\ lambda u + \ left (1- \ lambda \ right) v \ right) <max \ left \ {f \ left (u \ right), f \ left (v \ right) \ right \} = f \ left (u \ right)

$$f \ left (\ lambda u + \ left (1- \ lambda \ right) v \ right) &amp;lt;max \ left \ {f \ left (u \ right), f \ left (v \ right) \ right \} = f \ left (u \ right)$$

что противоречие.

Следовательно, существует только одно глобальное оптимальное решение.