Выпуклая оптимизация — конусы

Говорят, что непустое множество C в $\ mathbb {R} ^ n$ конусно с вершиной 0, если $x \ in C \ Rightarrow \ lambda x \ in C \ forall \ lambda \ geq 0$.

Множество C является выпуклым конусом, если он выпуклый так же, как и конус.

Например, $ y = \ left | x \ right | $ не является выпуклым конусом, потому что он не выпуклый.

Но $ y \ geq \ left | x \ right | $ — выпуклый конус, потому что он выпуклый и конус.

Примечание . Конус C является выпуклым тогда и только тогда, когда для любого $x, y \ in C, x + y \ in C$.

доказательство

Поскольку C — конус, для $x, y \ in C \ Rightarrow \ lambda x \ in C$ и  muy inC forall lambda, mu geq0$\ mu y \ in C \: \ forall \: \ lambda, \ mu \ geq 0$

C является выпуклым, если  lambdax+ left(1− lambda right)y inC forall lambda in left(0,1 right)$\ lambda x + \ left (1- \ lambda \ right) y \ in C \: \ forall \: \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right)$

Поскольку C — конус, $\ lambda x \ in C$ и $\ left (1- \ lambda \ right) y \ in C \ Leftrightarrow x, y \ in C$

Таким образом, C является выпуклым, если $x + y \ in C$

В общем, если $x_1, x_2 \ in C$, то $\ lambda_1x_1 + \ lambda_2x_2 \ in C, \ forall \ lambda_1, \ lambda_2 \ geq 0$

Примеры

• Коническая комбинация бесконечного множества векторов в $\ mathbb {R} ^ n$ является выпуклым конусом.

• Любое пустое множество является выпуклым конусом.

• Любая линейная функция является выпуклым конусом.

• Поскольку гиперплоскость линейна, она также является выпуклым конусом.

• Замкнутые полупространства также являются выпуклыми конусами.

Коническая комбинация бесконечного множества векторов в $\ mathbb {R} ^ n$ является выпуклым конусом.

Любое пустое множество является выпуклым конусом.

Любая линейная функция является выпуклым конусом.

Поскольку гиперплоскость линейна, она также является выпуклым конусом.

Замкнутые полупространства также являются выпуклыми конусами.

Примечание . Пересечение двух выпуклых конусов является выпуклым конусом, но их объединение может быть или не быть выпуклым конусом.