Учебники

Дифференцируемая квазивыпуклая функция

Пусть S – непустое выпуклое множество в  mathbbRn и f:S rightarrow mathbbR – дифференцируемо на S, тогда f квазивыпукло тогда и только тогда, когда для любого x1,x2 inS и f left(x1 right) leqf left(x2 right), у нас есть  bigtriangledownf left(x2 right)T left(x2x1 right) leq0

доказательство

Пусть f – квазивыпуклая функция.

Пусть x1,x2 inS такие, что f left(x1 right) leqf left(x2 right)

По дифференцируемости f в x2, lambda in left(0,1 right)

f left( lambdax1+ left(1 lambda right)x2 right)=f left(x2+ lambda left(x1x2 right) right)=f left(x2 right))+ bigtriangledownf left(x2 right)T left(x1x2 right)

$ + \ lambda \ left \ | x_1-x_2 \ right \ | \ alpha \ left (x_2, \ lambda \ left (x_1-x_2 \ right) \ right) $

 Rightarrowf left( lambdax1+ left(1 lambda right)x2 right)f left(x2 right)f left(x2 right)= bigtriangledownf left(x2 right)T left(x1x2 right)

$ + \ lambda \ left \ | x_1-x_2 \ right \ | \ alpha \ left (x2, \ lambda \ left (x_1-x_2 \ right) \ right) $

Но поскольку f квазивыпуклая, f left( lambdax1+ left(1 lambda right)x2 right) leqf left(x2 right)

$ \ bigtriangledown f \ left (x_2 \ right) ^ T \ left (x_1-x_2 \ right) + \ lambda \ left \ | x_1-x_2 \ right \ | \ alpha \ left (x_2, \ lambda \ left (x_1, x_2 \ right) \ right) \ leq 0 $

Но  alpha left(x2, lambda left(x1,x2 right) right) rightarrow0 при  lambda rightarrow0

Следовательно,  bigtriangledownf left(x2 right)T left(x1x2 right) leq0

обратный

пусть для x1,x2 inS и f left(x1 right) leqf left(x2 right),  bigtriangledownf left(x2 right)T left(x1,x2 right) leq0

Чтобы показать, что f квазивыпуклый, т. Е. F left( lambdax1+ left(1 lambda right)x2 right) leqf left(x2 right)

Доказательство от противного

Предположим, существует x3= lambdax1+ left(1 lambda right)x2, такой что f left(x2 right)<f left(x3 right) для некоторого  lambda in left(0,1 right)

Для x2 и x3: bigtriangledownf left(x3 right)T left(x2x3 right) leq0

 Rightarrow lambda bigtriangledownf left(x3 right)T left(x2x3 right) leq0

 Rightarrow bigtriangledownf left(x3 right)T left(x1x2 right) geq0

Для x1 и x3: bigtriangledownf left(x3 right)T left(x1x3 right) leq0

 Rightarrow left(1 lambda right) bigtriangledownf left(x3 right)T left(x1x2 right) leq0

 Rightarrow bigtriangledownf left(x3 right)T left(x1x2 right) leq0

таким образом, из приведенных выше уравнений  bigtriangledownf left(x3 right)T left(x1x2 right)=0

Определите U = \ left \ {x: f \ left (x \ right) \ leq f \ left (x_2 \ right), x = \ mu x_2 + \ left (1- \ mu \ right) x_3, \ mu \ in \ left (0,1 \ right) \ right \}

Таким образом, мы можем найти x0 inU такой, что x0= mu0x2= mux2+ left(1 mu right)x3 для некоторого  mu0 in left(0,1 right)), ближайший к x3 и  hatx in left(x0,x1 right), так что по теореме о среднем значении

 fracf left(x3 right)f left(x0 right)x3x0= bigtriangledownf left( hatx right)

 Rightarrowf left(x3 right)=f left(x0 right)+ bigtriangledownf left( hatx right)T left(x3x0 right)

$$ \ Rightarrow f \ left (x_3 \ right) = f \ left (x_0 \ right) + \ mu_0 \ lambda f \ left (\ hat {x} \ right) ^ T \ left (x_1-x_2 \ right) $ $

Поскольку x0 представляет собой комбинацию x1 и x2 и f left(x2 right)<f left( hatx right)

Повторяя процедуру запуска,  bigtriangledownf left( hatx right)T left(x1x2 right)=0

Таким образом, объединяя приведенные выше уравнения, получаем:

f left(x3 right)=f left(x0 right) leqf left(x2 right)

 Rightarrowf left(x3 right) leqf left(x2 right)

Следовательно, это противоречие.

Примеры

Шаг 1f left(x right)=X3

Пустьf left(x1 right) leqf left(x2 right)

 Rightarrowx31 leqx32 Rightarrowx1 leqx2

 bigtriangledownf left(x2 right) left(x1x2 right)=3x22 left(x1x2 right) leq0

Таким образом, f left(x right) является квазивыпуклым.

Шаг 2f left(x right)=x31+x32

Пусть  hatx1= left(2,2 right) и  hatx2= left(1,0 right)

таким образом, f left( hatx1 right)=0,f left( hatx2 right)=1 Rightarrowf left( hatx1 right) setminus<f left( hatx2 right)

Таким образом,  bigtriangledownf left( hatx2 right)T left( hatx1 hatx2 right)= left(3,0 right)T left(1,2 справа)=3>0

Следовательно, f left(x right) не является квазивыпуклым.