Псевдовыпуклая функция

Пусть $f: S \ rightarrow \ mathbb {R}$ — дифференцируемая функция, а S — непустое выпуклое множество в $\ mathbb {R} ^ n$, тогда f называется псевдовыпуклым, если для каждого $x_1, x_2 \ in S$ с $\ bigtriangledown f \ left (x_1 \ right) ^ T \ left (x_2-x_1 \ right) \ geq 0$, у нас есть $f \ left (x_2 \ right) \ geq f \ left ( x_1 \ right)$, или эквивалентно, если $f \ left (x_1 \ right)> f \ left (x_2 \ right)$, то $\ bigtriangledown f \ left (x_1 \ right) ^ T \ left (x_2-x_1 \ right) ) <0$

Псевдо-вогнутая функция

Пусть $f: S \ rightarrow \ mathbb {R}$ — дифференцируемая функция, а S — непустое выпуклое множество в $\ mathbb {R} ^ n$, тогда f называется псевдовыпуклым, если для каждого $x_1, x_2 \ in S$ с $\ bigtriangledown f \ left (x_1 \ right) ^ T \ left (x_2-x_1 \ right) \ geq 0$, у нас есть $f \ left (x_2 \ right) \ leq f \ left ( x_1 \ right)$, или эквивалентно, если $f \ left (x_1 \ right)> f \ left (x_2 \ right)$, то $\ bigtriangledown f \ left (x_1 \ right) ^ T \ left (x_2-x_1 \ right) )> 0$

замечания

• Если функция является и псевдовыпуклой, и псевдовогнутой, то она называется псевдолинейной.

• Дифференцируемая выпуклая функция также является псевдовыпуклой.

• Псевдовыпуклая функция не может быть выпуклой. Например,

  $f \ left (x \ right) = x + x ^ 3$ не является выпуклым. Если $x_1 \ leq x_2, x_ {1} ^ {3} \ leq x_ {2} ^ {3}$

  Таким образом, $\ bigtriangledown f \ left (x_1 \ right) ^ T \ left (x_2-x_1 \ right) = \ left (1 + 3x_ {1} ^ {2} \ right) \ left (x_2-x_1 \ right) \ geq 0$

  И, $f \ left (x_2 \ right) -f \ left (x_1 \ right) = \ left (x_2-x_1 \ right) + \ left (x_ {2} ^ {3} -x_ {1} ^ {3 } \ right) \ geq 0$

  $\ Rightarrow f \ left (x_2 \ right) \ geq f \ left (x_1 \ right)$

  Таким образом, это псевдовыпуклый.

  Псевдовыпуклая функция строго квазивыпуклая. Таким образом, каждый локальный минимум псевдовыпуклости также является глобальным минимумом.

Если функция является и псевдовыпуклой, и псевдовогнутой, то она называется псевдолинейной.

Дифференцируемая выпуклая функция также является псевдовыпуклой.

Псевдовыпуклая функция не может быть выпуклой. Например,

$f \ left (x \ right) = x + x ^ 3$ не является выпуклым. Если $x_1 \ leq x_2, x_ {1} ^ {3} \ leq x_ {2} ^ {3}$

Таким образом, $\ bigtriangledown f \ left (x_1 \ right) ^ T \ left (x_2-x_1 \ right) = \ left (1 + 3x_ {1} ^ {2} \ right) \ left (x_2-x_1 \ right) \ geq 0$

И, $f \ left (x_2 \ right) -f \ left (x_1 \ right) = \ left (x_2-x_1 \ right) + \ left (x_ {2} ^ {3} -x_ {1} ^ {3 } \ right) \ geq 0$

$\ Rightarrow f \ left (x_2 \ right) \ geq f \ left (x_1 \ right)$

Таким образом, это псевдовыпуклый.

Псевдовыпуклая функция строго квазивыпуклая. Таким образом, каждый локальный минимум псевдовыпуклости также является глобальным минимумом.

Строго псевдовыпуклая функция

Пусть $f: S \ rightarrow \ mathbb {R}$ — дифференцируемая функция, а S — непустое выпуклое множество в $\ mathbb {R} ^ n$, тогда f называется псевдовыпуклым, если для каждого $x_1, x_2 \ in S$ с $\ bigtriangledown f \ left (x_1 \ right) ^ T \ left (x_2-x_1 \ right) \ geq 0$, у нас есть $f \ left (x_2 \ right)> f \ left (x_1 \ right)$ или, что эквивалентно, если $f \ left (x_1 \ right) \ geq f \ left (x_2 \ right)$ then $\ bigtriangledown f \ left (x_1 \ right) ^ T \ left (x_2-x_1 \ right) ) <0$

теорема

Пусть f — псевдовыпуклая функция, и пусть $\ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ right) = 0$ для некоторого $\ hat {x} \ in S$, тогда $\ hat {x}$ является глобально оптимальным решение е над S.

доказательство

Пусть $\ hat {x}$ — критическая точка f, т. Е. $\ Bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ right) = 0$

Поскольку f — псевдовыпуклая функция, для $x \ in S,$ имеем

$$\ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ right) \ left (x- \ hat {x} \ right) = 0 \ Rightarrow f \ left (\ hat {x} \ right) \ leq f \ left (x \ right), \ forall x \ in S$$

Следовательно, $\ hat {x}$ является глобальным оптимальным решением.

замечание

Если f — строго псевдовыпуклая функция, $\ hat {x}$ — единственное глобальное оптимальное решение.

теорема

Если f — дифференцируемая псевдовыпуклая функция над S, то f является как строго квазивыпуклой, так и квазивыпуклой функцией.

Сумма двух псевдовыпуклых функций, определенных на открытом множестве S из $\ mathbb {R} ^ n$, не может быть псевдовыпуклой.

Пусть $f: S \ rightarrow \ mathbb {R}$ — квазивыпуклая функция, а S — непустое выпуклое подмножество в $\ mathbb {R} ^ n$, тогда f является псевдовыпуклым тогда и только тогда, когда каждая критическая точка является глобальной минимумы f над S.

Пусть S — непустое выпуклое подмножество в $\ mathbb {R} ^ n$, а $f: S \ rightarrow \ mathbb {R}$ — такая функция, что $\ bigtriangledown f \ left (x \ right) \ neq 0$ для каждого $x \ in S$, то f является псевдовыпуклой тогда и только тогда, когда она является квазивыпуклой функцией.