Норма — это функция, которая дает строго положительное значение для вектора или переменной.
Норма — это функция $ f: \ mathbb {R} ^ n \ rightarrow \ mathbb {R} $
Основными характеристиками нормы являются —
Пусть $ X $ — такой вектор, что $ X \ in \ mathbb {R} ^ n $
-
$ \ left \ | x \ right \ | \ geq 0 $
-
$ \ left \ | x \ right \ | = 0 \ Leftrightarrow x = 0 \ forall x \ in X $
-
$ \ left \ | \ alpha x \ right \ | = \ left | \ alpha \ right | \ left \ | x \ right \ | \ forall \: x \ in X и \: \ alpha \: is \: a \: scalar $
-
$ \ left \ | x + y \ right \ | \ leq \ left \ | x \ right \ | + \ left \ | y \ right \ | \ forall x, y \ in X $
-
$ \ left \ | xy \ right \ | \ geq \ left \ | \ левый \ | x \ right \ | — \ left \ | y \ right \ | \ right \ | $
$ \ left \ | x \ right \ | \ geq 0 $
$ \ left \ | x \ right \ | = 0 \ Leftrightarrow x = 0 \ forall x \ in X $
$ \ left \ | \ alpha x \ right \ | = \ left | \ alpha \ right | \ left \ | x \ right \ | \ forall \: x \ in X и \: \ alpha \: is \: a \: scalar $
$ \ left \ | x + y \ right \ | \ leq \ left \ | x \ right \ | + \ left \ | y \ right \ | \ forall x, y \ in X $
$ \ left \ | xy \ right \ | \ geq \ left \ | \ левый \ | x \ right \ | — \ left \ | y \ right \ | \ right \ | $
По определению норма рассчитывается следующим образом —
-
$ \ left \ | x \ right \ | _1 = \ displaystyle \ sum \ limit_ {i = 1} ^ n \ left | x_i \ right | $
-
$ \ left \ | x \ right \ | _2 = \ left (\ displaystyle \ sum \ limit_ {i = 1} ^ n \ left | x_i \ right | ^ 2 \ right) ^ {\ frac {1} {2}} $
-
$ \ left \ | x \ right \ | _p = \ left (\ displaystyle \ sum \ limit_ {i = 1} ^ n \ left | x_i \ right | ^ p \ right) ^ {\ frac {1} {p}}, 1 \ leq p \ leq \ infty $
$ \ left \ | x \ right \ | _1 = \ displaystyle \ sum \ limit_ {i = 1} ^ n \ left | x_i \ right | $
$ \ left \ | x \ right \ | _2 = \ left (\ displaystyle \ sum \ limit_ {i = 1} ^ n \ left | x_i \ right | ^ 2 \ right) ^ {\ frac {1} {2}} $
$ \ left \ | x \ right \ | _p = \ left (\ displaystyle \ sum \ limit_ {i = 1} ^ n \ left | x_i \ right | ^ p \ right) ^ {\ frac {1} {p}}, 1 \ leq p \ leq \ infty $
Норма — это непрерывная функция.
доказательство
По определению, если $ x_n \ rightarrow x $ в $ X \ Rightarrow f \ left (x_n \ right) \ rightarrow f \ left (x \ right) $, то $ f \ left (x \ right) $ является постоянной функцией.
Пусть $ f \ left (x \ right) = \ left \ | x \ right \ | $
Следовательно, $ \ left | f \ left (x_n \ right) -f \ left (x \ right) \ right | = \ left | \ левый \ | x_n \ right \ | — \ слева \ | x \ right \ | \ right | \ leq \ left | \ левый | x_n-x \ right | \: \ right | $
Так как $ x_n \ rightarrow x $, $ \ left \ | x_n-x \ right \ | \ rightarrow 0 $
Поэтому $ \ left | f \ left (x_n \ right) -f \ left (x \ right) \ right | \ leq 0 \ Rightarrow \ left | f \ left (x_n \ right) -f \ left (x \ right) \ right | = 0 \ Rightarrow f \ left (x_n \ right) \ rightarrow f \ left (x \ right) $
Следовательно, норма является непрерывной функцией.