Выпуклая оптимизация — аффинный набор

Множество $A$ называется аффинным множеством, если для любых двух различных точек прямая, проходящая через эти точки, лежит в множестве $A$.

Примечание —

• $S$ является аффинным множеством тогда и только тогда, когда оно содержит каждую аффинную комбинацию своих точек.

• Пустые и одноэлементные множества являются аффинными и выпуклыми множествами.

  Например, решение линейного уравнения является аффинным множеством.

$S$ является аффинным множеством тогда и только тогда, когда оно содержит каждую аффинную комбинацию своих точек.

Пустые и одноэлементные множества являются аффинными и выпуклыми множествами.

Например, решение линейного уравнения является аффинным множеством.

доказательство

Пусть S — решение линейного уравнения.

По определению $S = \ left \ {x \ in \ mathbb {R} ^ n: Ax = b \ right \}$

Пусть $x_1, x_2 \ in S \ Rightarrow Ax_1 = b$ и $Ax_2 = b$

Для доказательства: $A \ left [\ theta x_1 + \ left (1- \ theta \ right) x_2 \ right] = b, \ forall \ theta \ in \ left (0,1 \ right)$

$A \ left [\ theta x_1 + \ left (1- \ theta \ right) x_2 \ right] = \ theta Ax_1 + \ left (1- \ theta \ right) Ax_2 = \ theta b + \ left (1- \ theta \ right) ) B = B$

Таким образом, S является аффинным множеством.

теорема

Если $C$ является аффинным множеством и $x_0 \ in C$, то множество $V = C-x_0 = \ left \ {x-x_0: x \ in C \ right \}$ является подпространством в C.

доказательство

Пусть $x_1, x_2 \ in V$

Показать: $\ alpha x_1 + \ beta x_2 \ in V$ для некоторого $\ alpha, \ beta$

Теперь $x_1 + x_0 \ in C$ и $x_2 + x_0 \ in C$ по определению V

Теперь $\ alpha x_1 + \ beta x_2 + x_0 = \ alpha \ left (x_1 + x_0 \ right) + \ beta \ left (x_2 + x_0 \ right) + \ left (1- \ alpha - \ beta \ right) x_0$

Но $\ alpha \ left (x_1 + x_0 \ right) + \ beta \ left (x_2 + x_0 \ right) + \ left (1- \ alpha - \ beta \ right) x_0 \ in C$, потому что C является аффинным множеством ,

Следовательно, $\ alpha x_1 + \ beta x_2 \ in V$

Отсюда доказано.