Квазивыпуклые и квазивогнутые функции

Пусть f:S rightarrow mathbbR$f: S \ rightarrow \ mathbb {R}$, где S subset mathbbRn$S \ subset \ mathbb {R} ^ n$ — непустое выпуклое множество. Функция f называется квазивыпуклой, если для каждого x1,x2 inS$x_1, x_2 \ in S$ мы имеем f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \}, \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right)$f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \}, \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right)$

Например, f left(x right)=x3$f \ left (x \ right) = x ^ {3}$

Пусть f:S rightarrowR$f: S \ rightarrow R$, где S subset mathbbRn$S \ subset \ mathbb {R} ^ n$ — непустое выпуклое множество. Функция f называется квазивыпуклой, если для каждого x1,x2 inS$x_1, x_2 \ in S$ мы имеем f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ geq min \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \}, \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right)$f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ geq min \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \}, \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right)$

замечания

• Каждая выпуклая функция квазивыпуклая, но обратное неверно.
• Функция, которая является квазивыпуклой и квазивогнутой, называется квазимонотонной.

теорема

Пусть f:S rightarrow mathbbR$f: S \ rightarrow \ mathbb {R}$ и S — непустое выпуклое множество в  mathbbRn$\ mathbb {R} ^ n$. Функция f является квазивыпуклой тогда и только тогда, когда S alpha= left(x inS:f left(x right) leq alpha right}$S _ {\ alpha} = \ left (x \ in S: f \ left (x \ right) \ leq \ alpha \ right \}$ выпукло для каждого действительного числа \ alpha $

доказательство

Пусть f квазивыпуклая на S.

Пусть x1,x2 inS alpha$x_1, x_2 \ in S _ {\ alpha}$, поэтому x1,x2 inS$x_1, x_2 \ in S$ и max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \} \ leq \ alpha$max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \} \ leq \ alpha$

Пусть  lambda in left(0,1 right)$\ lambda \ in \ left (0, 1 \ right)$ и пусть x = \ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ leq max \ left \ {f \ left (x_1 \ right) , f \ left (x_2 \ right) \ right \} \ Rightarrow x \ in S$x = \ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ leq max \ left \ {f \ left (x_1 \ right) , f \ left (x_2 \ right) \ right \} \ Rightarrow x \ in S$

Таким образом, f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \} \ leq \ alpha$f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \} \ leq \ alpha$

Следовательно, S alpha$S _ {\ alpha}$ выпукло.

обратный

Пусть S alpha$S _ {\ alpha}$ является выпуклым для каждого  alpha$\ alpha$

x1,x2 inS, lambda in left(0,1 right)$x_1, x_2 \ in S, \ lambda \ in \ left (0,1 \ right)$

x= lambdax1+ left(1− lambda right)x2$x = \ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2$

Пусть x= lambdax1+ left(1− lambda right)x2$x = \ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2$

Для x_1, x_2 \ in S _ {\ alpha}, \ alpha = max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \}$x_1, x_2 \ in S _ {\ alpha}, \ alpha = max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \}$

 Rightarrow lambdax1+ left(1− lambda right)x2 inS alpha$\ Rightarrow \ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ in S _ {\ alpha}$

 Rightarrowf left( lambdax1+ left(1− lambda right)x2 right) leq alpha$\ Rightarrow f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq \ alpha$

Отсюда доказано.

теорема

Пусть f:S rightarrow mathbbR$f: S \ rightarrow \ mathbb {R}$ и S — непустое выпуклое множество в  mathbbRn$\ mathbb {R} ^ n$. Функция f квазивогнута в том и только в том случае, если S _ {\ alpha} = \ left \ {x \ in S: f \ left (x \ right) \ geq \ alpha \ right \}$S _ {\ alpha} = \ left \ {x \ in S: f \ left (x \ right) \ geq \ alpha \ right \}$ выпукло для каждого действительного числа  альфа$\ альфа$.

теорема

Пусть f:S rightarrow mathbbR$f: S \ rightarrow \ mathbb {R}$ и S — непустое выпуклое множество в  mathbbRn$\ mathbb {R} ^ n$. Функция f квазимонотонна тогда и только тогда, когда S _ {\ alpha} = \ left \ {x \ in S: f \ left (x \ right) = \ alpha \ right \}$S _ {\ alpha} = \ left \ {x \ in S: f \ left (x \ right) = \ alpha \ right \}$ выпукла для каждого действительного числа  alpha$\ alpha$.