Крайняя точка выпуклого множества

Пусть S — выпуклое множество в $\ mathbb {R} ^ n$. Вектор $x \ in S$ называется крайней точкой S, если $x = \ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2$ с $x_1, x_2 \ in S$ и $\ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) \ Rightarrow x = x_1 = x_2$.

пример

Шаг 1 — $S = \ left \ {\ left (x_1, x_2 \ right) \ in \ mathbb {R} ^ 2: x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} \ leq 1 \ право \}$

Крайняя точка, $E = \ left \ {\ left (x_1, x_2 \ right) \ in \ mathbb {R} ^ 2: x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = 1 \ right \}$

Шаг 2 — $S = \ left \ {\ left (x_1, x_2 \ right) \ in \ mathbb {R} ^ 2: x_1 + x_2 <2, -x_1 + 2x_2 \ leq 2, x_1, x_2 \ geq 0 \ право \}$

Крайняя точка, $E = \ left \ {\ left (0, 0 \ right), \ left (2, 0 \ right), \ left (0, 1 \ right), \ left (\ frac {2} {3 }, \ frac {4} {3} \ right) \ right \}$

Шаг 3 — S — многогранник, составленный из точек $\ left \ {\ left (0,0 \ right), \ left (1,1 \ right), \ left (1,3 \ right), \ left (- 2,4 \ направо), \ налево (0,2 \ направо) \ направо \}$

Крайняя точка, $E = \ left \ {\ left (0,0 \ right), \ left (1,1 \ right), \ left (1,3 \ right), \ left (-2,4 \ right) \ right \}$

замечания

• Любая точка выпуклого множества S, может быть представлена ​​как выпуклая комбинация его крайних точек.

• Это верно только для замкнутых и ограниченных множеств в $\ mathbb {R} ^ n$.

• Это может быть не так для неограниченных множеств.

Любая точка выпуклого множества S, может быть представлена ​​как выпуклая комбинация его крайних точек.

Это верно только для замкнутых и ограниченных множеств в $\ mathbb {R} ^ n$.

Это может быть не так для неограниченных множеств.

k крайних точек

Точка в выпуклом множестве называется k экстремальной тогда и только тогда, когда она является внутренней точкой k-мерного выпуклого множества в S и не является внутренней точкой (k + 1) -мерного выпуклого множества в S. В принципе, для выпуклого множества S k крайних точек образуют k-мерные открытые грани.