Строго квазивыпуклая функция

Пусть $f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n$ и S — непустое выпуклое множество в $\ mathbb {R} ^ n$, тогда f называется строго квазиковексной функцией, если для каждого $x_1, x_2 \ in S$ с $f \ left (x_1 \ right) \ neq f \ left (x_2 \ right)$, у нас есть $f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) <max \: \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \}$

замечания

• Каждая строго квазивыпуклая функция является строго выпуклой.
• Строго квазивыпуклая функция не подразумевает квазивыпуклости.
• Строго квазивыпуклая функция не может быть сильно квазивыпуклой.
• Псевдовыпуклая функция является строго квазивыпуклой функцией.

теорема

Пусть $f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n$ — строго квазивыпуклая функция, а S — непустое выпуклое множество в $\ mathbb {R} ^ n$. Рассмотрим проблему: minf left(x right),x inS$min \: f \ left (x \ right), x \ in S$. Если $\ hat {x}$ является локальным оптимальным решением, то $\ bar {x}$ является глобальным оптимальным решением.

доказательство

Пусть существует $\ bar {x} \ in S$ такой, что $f \ left (\ bar {x} \ right) \ leq f \ left (\ hat {x} \ right)$

Поскольку $\ bar {x}, \ hat {x} \ in S$ и S выпуклое множество, следовательно,

$$\ lambda \ bar {x} + \ left (1- \ lambda \ right) \ hat {x} \ in S, \ forall \ lambda \ in \ left (0,1 \ right)$$

Поскольку $\ hat {x}$ — локальные минимумы, $f \ left (\ hat {x} \ right) \ leq f \ left (\ lambda \ bar {x} + \ left (1- \ lambda \ right) \ hat {x} \ right), \ forall \ lambda \ in \ left (0, \ delta \ right)$

Поскольку f строго квазивыпуклый.

$$f \ left (\ lambda \ bar {x} + \ left (1- \ lambda \ right) \ hat {x} \ right) <max \ left \ {f \ left (\ hat {x} \ right) , f \ left (\ bar {x} \ right) \ right \} = f \ left (\ hat {x} \ right)$$

Следовательно, это противоречие.

Строго квазивогнутая функция

Пусть $f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n$ и S — непустое выпуклое множество в $\ mathbb {R} ^ n$, тогда f считается строго квазиковексной функцией, если для каждого $x_1, x_2 \ in S$ с $f \ left (x_1 \ right) \ neq f \ left (x_2 \ right)$, имеем

$$f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right)> min \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \}$$ .

$f \ left (x \ right) = x ^ 2-2$

Это строго квазивыпуклая функция, потому что если мы возьмем любые две точки $x_1, x_2$ в области, которые удовлетворяют ограничениям в определении $f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) <max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \}$ Поскольку функция уменьшается по отрицательной оси x и увеличивается по положительной оси x ( так как это парабола).

$f \ left (x \ right) = - x ^ 2$

Это не строго квазивыпуклая функция, потому что если мы возьмем $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$ и $\ lambda = 0.5$, то $f \ left (x_1 \ right) = - 1 = f \ left ( x_2 \ right)$ but $f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) = 0$ Поэтому оно не удовлетворяет условиям, изложенным в определении. Но это квазивогнутая функция, потому что если мы возьмем любые две точки в области, которые удовлетворяют ограничениям в определении $f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right)> min \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \}$. Поскольку функция увеличивается в отрицательной оси X и уменьшается в положительной оси X.