Сочетание двух элементарных проблем участвуют в задачах, основанных на неравенстве и закодированном неравенстве.
В этом типе проблем схема кодирования рассказывается полностью в самом вопросе. Расшифровка неравенств в данной проблеме не будет означать больше головной боли, чем пара лишних секунд.
По сути, это проблема неравенства, и именно этот аспект должен быть преодолен. Поэтому сначала мы изучим основы неравенства.
Мы знаем, что результат умножения между 5 и 3 и число 15 равны . Поскольку они равны , это равенство, но в случае 5 × 5 ≠ 15 произведение 5 и 5 не равно числу 15, это неравенство.
Больше чем — Обозначается>. Например, 5 × 5> 15
Меньше чем — Обозначается <. Например, 5 × 2 <15
Больше или равно — Обозначается ≥. Когда мы не знаем точного условия неравенства между двумя числами, мы используем этот символ. Например, рассмотрим два числа x и q . Мы знаем, что x не меньше q . В этом случае x может быть равен q или больше q. Поэтому мы используем знак ≥.
Меньше или равно — Обозначается ≤. Когда одно число меньше другого или равно этому числу, используется этот символ. Например, рассмотрим два числа X и B, где X не больше, чем B. В этом случае X меньше или равно B. Поэтому его можно представить как X ≤ B.
Два золотых правила для объединения неравенств следующие:
Общий термин может объединять два неравенства.
Пример 1
Неравенство — A> B, C> D
Здесь используются четыре термина, но общего термина нет. Таким образом, эти два неравенства не могут быть объединены.
Пример 2
Неравенство — A ≤ B, X ≥ Y
Таким образом, здесь также отсутствует общий термин. Поэтому они не могут быть объединены.
Если общий термин выше, чем один, и меньше, чем другой, оба неравенства могут быть объединены.
Пример 1
Неравенство — P> X, X> C.
Здесь общим термином является X. X больше C, но меньше P. Таким образом, комбинация будет такой: P> X> C или C <X <P.
Пример 2
Неравенство — X <P, X ≥ C
Здесь X меньше, чем P, и больше или равно члену C. Поскольку X является общим, комбинация возможна. То есть — P> X ≥ C или C ≤ X <P.
Вывод из совокупного неравенства
Другое правило, третье золотое правило , используется для вывода заключения из комбинированного неравенства следующим образом:
Добавьте два неравенства и сделайте вывод, позволив среднему члену исчезнуть. Неравенство заключения имеет знак ≥ тогда и только тогда, когда оба знака в объединенном неравенстве были ≥, и наоборот.
Следовательно, заключение обычно будет иметь строго знак>, если только знак ≥ не встречается дважды в объединенном неравенстве.
Пример 1 — Вывод из следующих комбинированных неравенств.
я. x> y> z
II. х <у <г
Решение —
я. x> z
II. х <г
Шаги, вовлеченные в решение проблем, следующие:
Шаг 1 — аккуратно и быстро расшифруйте символ, обозначающий арифметическую операцию.
Пример — Учитывая, что P α Q. Имеется в виду P> Q. Следовательно, замените α на>. Вы должны брать один код за раз и заменять его исходным математическим символом, прежде чем переходить к следующему коду, и вы должны сделать это быстро.
Шаг 2 — Примите одно заключение за раз и решите, какие утверждения важны для оценки заключения.
Теперь об этом нужно подумать. Что вы подразумеваете под соответствующим утверждением? Здесь мы имеем в виду утверждение, которое не является бесполезным для вывода. Если есть заключение, скажем, x> y, то утверждение типа a> b бесполезно, потому что оно не содержит ни x, ни y. Поэтому любой анализ не может сказать нам ничего об этом заключении. Соответствующие утверждения — это те, которые могут быть объединены, чтобы доказать или опровергнуть этот вывод. Так что это утверждение не относится к х> у.
Чтобы решить, какое утверждение имеет отношение к заключению, возьмите два условия данного вывода и посмотрите, не появляется ли каждое из них отдельно с одним общим термином. Эти заявления будут соответствующими заявлениями.
Пример. Предположим, что после выполнения шага 1 мы имеем следующее утверждение;
M> N, L = M, O> N, L ≤ K
Вывод —
а) M <K, b) L> N
Шаг 3 — Используйте три золотых правила, чтобы объединить соответствующие утверждения и сделать из них вывод. Золотые правила есть;
Правило 1 — должен быть общий термин.
Правило 2 — Общий термин должен быть меньше или равен одному термину и больше или равен другому.
Правило 3. Вывод состоит в том, что неравенство получается тем, что общий член исчезает и имеет знак ≤ или ≥ тогда и только тогда, когда оба неравенства на втором шаге имели знак ≤ или ≥. Во всех остальных случаях в заключении будет знак <или a>.
Для заключения а (М <К) соответствующие утверждения
М = L и L ≤ K.
Комбинируя, мы получаем M = L <K
Итак, M ≤ K (согласно шагу 3)
Теперь M ≤ K не означает, что M <K, потому что M ≤ K допускает, что M будет меньше или равно K, что неверно в случае M <K.
Для заключения б, соответствующие заявления
M> N и L = M
После объединения получаем, что L = M> N L> N
Отсюда вывод проверен, ну и хорошо. Итак, L> N. Если нет, выполните следующие проверки.
Проверка 1 — Проверьте, следует ли заключение непосредственно из единственного данного утверждения.
Иногда утверждение может быть в форме A ≥ B, и один вывод может быть в форме B ≤ A. Очевидно, что оба полностью идентичны, но иногда мы склонны игнорировать такие незначительные уловки экзаменатора.
Пример. Рассмотрим следующее: (Пусть α означает>, β означает ≥, γ означает =, δ означает <, η означает ≤)
Пусть, учитывая утверждение: E γ F, C δ D, F δ g, D β F
Вывод — 1. Г п Ф.
Здесь вывод G η F или G ≤ F и он идентичен F β G или F ≥ G. Следовательно, это непосредственно следует из одного утверждения.
Проверка 2. Вывод, к которому вы пришли после третьего шага, может совпадать с данным выводом, хотя на первый взгляд может показаться, что это не так.
Проверка 3. Если после третьего шага вы получаете заключение со знаком ≥, а два заданных вывода имеют знак> и знак = между одними и теми же терминами, выбор 1 или 2 является правильным.
Например: предположим, вы достигли A ≥ B после выполнения третьего шага. Теперь предположим, что приведенные выводы: I) A> B и II) A = B. Тогда выбор «следует I или II следует» верен.
Точно так же, если вы сделаете вывод, что M ≤ N, и приведенные выводы являются I) M <N и II) M = N, тогда снова следует тот же ответ.
Проверка 4 — Если два приведенных вывода имеют обозначения, указанные ниже между одними и теми же терминами
а) ≤ и> знаки, или
б) <и> знаки, или
в) > и ≤ знаки, или
г) ≥ и <знаки
и если ни один из выводов не был принят ни на одном из вышеуказанных этапов; выбор любого из двух следующих правил является правильным.
Предположим, что в данном вопросе выводы
а) A ≥ B b) A <B
Теперь предположим, что ни один из них не был доказан в силу каких-либо предыдущих шагов. Так как они имеют одинаковую пару (A и B), а знаки ≥ и <; выбор, который следует, является правильным.
Примечание. Проверка 4 просто говорит о том, что один номер может иметь только три позиции по сравнению с другим номером. Оно может быть меньше или равно или больше другого.
Это верно универсально для любых двух чисел. То есть [A ≤ B или A> B] является универсально правильным утверждением, поскольку A может быть либо (меньше или равно), либо (больше чем) B.
Таким образом, для любых двух чисел A и B всегда верно следующее:
I. A ≤ B или A <B
II. A <B или A> B
III. A> B или A ≤ B
Внутривенно A ≥ B или A <B
Эти четыре пары называются комплементарными парами . В таких случаях одно из двух утверждений всегда будет верным. Мы выбираем «либо следует» в качестве ответа. Но помните, мы выбираем это как наш ответ, только если ни одно из двух утверждений не было доказано в противном случае на любом предыдущем этапе.